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\newcounter{exo}[chapter]

\counterwithin*{equation}{exo}

\FPeval{\firstchapter}{clip(3*(\nplan-1)-1)}
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\renewcommand*{\thesection}{\Roman{section}}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{1em}\par\noindent\refstepcounter{exo}%
    \textbf{Exercice \theexo \label{exo:\thechapter-\theexo}}%
    \if\relax\detokenize{#1}\relax\else
        \hspace{1em}---\hspace{1em}%
    \fi
    \textit{#1}%
\par}

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\titlecontents{chapter}[0em]{\vspace{0.5ex}}{\bfseries}{\itshape}{}

\begin{document}

\begin{titlepage}
    $\;$\vspace{2cm}

\begin{center}
    {\huge\bfseries Plan de travail n$\bm{\,\!^\circ}$\nplan\\}
 \vspace{1cm}
 {\Large\bfseries Théophile Cailliau} \\
 \vspace{0.5cm}
 \emph{À rendre le lundi 11 mars 2019} \\[2cm]
\end{center}

{\let\clearpage\relax \tableofcontents}
{\let\clearpage\relax \listoftodos}
\vfill
\begin{center}
    \includegraphics[width=0.19\linewidth]{figures/hershel_layton.png}
\end{center}
\thispagestyle{empty}
\end{titlepage}

\chapter{Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique ou un champ magnétique}
\section{J'applique mon cours}

\exo[Évaluer les ordres de grandeur des forces électrique ou magnétique et les comparer à ceux des forces gravitationnelles]

On pose $m_p=1,67\cdot 10^{-27}$ kg, $E=1\mathrm{kV}\cdot \mathrm m^{-1}$. On a $P=mg=1.67\cdot 10^{-27}\cdot 9.81$ N et $F=qE=1,6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{-3}$ N.

Calcul d'ordre de grandeur: $\frac FP\simeq\frac{10^{-19}\cdot 10^3}{10^{-27}\cdot 10}=10^{10}$ donc le poids est négligeable devant $F$.

Pour $F=qvB$ on a, avec $v\simeq 10^3\mathrm m\cdot \mathrm s^{-1}$ et $B=10^{-2}$T, $\frac FP\simeq 10^8$. Le poids est à nouveau négligeable.

\exo[Savoir qu'un champ éléctrique peut modifier l'énergie cinétique d'une particule alors qu'un champ magnétique peut courber la trajectoire sans fournir d'énergie à la particule]

\begin{itemize}
    \item \emph{(Dans un champ éléctrique)} On a $q\vec E=m\vec a$ donc $\vec a=\frac qm\vec E\neq \vec 0$. Le mouvement est uniformément accéléré.
    \item \emph{(Dans un champ magnétique)} On a $\Delta E_c=W(q\vec v\land \vec B)=0$ (théorème de l'énergie cinétique) car $\vec v\land \vec B$ est perpendiculaire à la trajectoire.
\end{itemize}

\exo[Mettre en équation le mouvement et le caractériser comme un mouvement à vecteur accélération constant]

On a \[
    \vec a=\frac qm\vec E
\]
D'où \[
    \vec v=\frac qm\vec E\;t+\vec v_0
\]
et \[
    \vec {OM}=\frac q{2m}\vec E\;t^2+\vec v_0t+\vec{OM}_0
\]

\exo[Effectuer un bilan énergétique pour calculer la vitesse d'une particule chargée accélérée par une différence de potentiel]

On applique le théorème de l'énergie cinétique: \[
    \Delta E_c=\frac12mv_1^2-\frac12mv_0^2=W(q\vec E)=qU\iff v_1=\sqrt{\frac{2qU}m+v_0^2}
\]

\exo[Citer une application]

\begin{itemize}
    \item Un champ électrique uniforme: accélération de particules
    \item Un champ magnétique uniforme: spectrographe de masse
\end{itemize}

\exo[Déterminer le rayon de la trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique sans calcul en admettant que celle-ci est circulaire]

On se place en coordonées cylindriques. On note $r$ le rayon constant. On a \[
    \vec v=r\dot\theta\vec e_\theta\quad\text{ et }\quad \vec a=-r\dot\theta^2\vec e_r+r\ddot\theta\vec e_\theta
\]
Par PFD, on a \[
    q\vec v\land \vec B=qv\vec e_r=m\vec a
\]
En projection sur $\vec e_r$: \[
    -qr\dot\theta B=-mr\dot\theta^2\iff \dot\theta=\frac{qB}m
\]
En remplaçant dans $\vec v_0$,  \[
    r=\frac{v_0}{\dot\theta}=\frac{v_0m}{qB}
\]

\section{Je m'entraîne}

\exo[Principe d'un oscilloscope]

\begin{enumerate}
    \item On a \[
            \vec{OM}=\frac{q}{2m}\vec E \;t^2+\vec v_0t\iff \begin{cases}
                x=v_0t\\
                y=\dfrac{q}{2m}E t^2=-\dfrac{eU}{2md}t^2
            \end{cases} \]
    \item On sort de la zone de champ éléctrique quand \[
            x=\ell=v_0t\iff t=\frac\ell{v_0}\iff \begin{cases}
                v_x=v_0\\
                v_y=\dfrac{-eU\ell}{mdv_0}
            \end{cases}
        \]
        On a une pente de $\dfrac{-eU\ell}{mdv_0^2}$, donc l'équation \[
            y=-\frac{eU\ell}{mdv_0^2}x+\mathrm{cte}=-\frac{eU\ell}{mdv_0^2}x
        \]
    \item On a, à $x=\ell+\ell'$,
        \[
            y=-\frac{eU\ell(\ell+\ell')}{mdv_0^2}\propto U
        \]
        C'est intéressant pour un oscilloscope: le point visible sur l'écran est directement proportionnel à la tension d'entrée.
    \item On prend une tension en dents de scie.
\end{enumerate}

\exo[Cyclotron]

\begin{enumerate}
    \item Dans un \emph{dé}, la seule force qui s'applique est un champ mégnatique uniforme. Le mouvement est circulaire uniforme, et on a \[
            \begin{cases}
                x(t)=\dfrac{v_0}{\omega_c}\sin(\omega_c t)\\
                y(t)=\dfrac{v_0}{\omega_c}\cos(\omega_c t)-\dfrac{v_0}{\omega_c}
            \end{cases}
        \]

    \item Il faut $\omega_c t\equiv \pi \pmod{2\pi}$, soit $\displaystyle t=\frac{\pi}{\omega_c}=\frac{m\pi}{qB}\simeq 3.28\cdot 10^{-8}$ s
    \item On prend $\displaystyle f=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac1{2t}$
    \item Par le théorème de l'énergie cinétique \[
            \Delta E_c=W(q\vec E)=qU_m\simeq 4\cdot 10^{-16}\;\mathrm J=2500\;\mathrm{eV}
        \]
    \item \[
            v=25\cdot 10^6\;\mathrm m\cdot \mathrm s^{-1}\implies E_{c_{f\! i\! n}}=5,22\cdot 10^{-13}\;\mathrm J
        \]
        On a donc \[
            n\simeq 652
        \]
        Et le temps nécessaire \[
            \Delta t= n\cdot t\simeq 4,28\cdot 10^{-5}\;\mathrm s
        \]

    \item On a $\displaystyle r=\frac{v_0}{\omega_c}=\frac{mv}{qB}\simeq 26\;\mathrm{cm}$
\end{enumerate}

\section{Je progresse}

\exo[Sélecteur d'isotopes]

\begin{enumerate}
    \item Par théorème de l'énergie cinétique, \[
            \Delta E_c = \frac12mv_1^2=W(q\vec E_1)=q(V_M-V_N)\iff v_1=\sqrt{\frac{2q(V_M-V_N)}m}
        \]
        \textbf{AN:} \[
            v(_{10}^{20}\mathrm{Ne}^+) \simeq 1.384 \cdot 10^{6} \;\mathrm m\cdot \mathrm s^{-1}
        \] \[
            v(_{10}^{22}\mathrm{Ne}^+) \simeq 1.320 \cdot 10^{6} \;\mathrm m\cdot \mathrm s^{-1}
        \]
    \item Il faut $\vec E  + \vec v\land \vec B = \vec 0$, soit \[ E\vec u_y + vB \vec u_x\land \vec u_z=(E-vB)\vec u_y=\vec 0\iff E=vB\simeq 1.384\cdot 10^{5} \;\mathrm V\cdot \mathrm m^{-1}\]
    \item Ayant une vitesse d'entrée différente, ils n'ont pas une trajectoire rectiligne uniforme. Le dispositif permet de sélectionner les isotopes, en choisissant correctement $E$.

\end{enumerate}

\chapter{Description macroscopique de la matière}

\section{J'applique mon cours}

\exo[Connaître l'onde de grandeur de la constante d'Avogadro]

On a $N_A\simeq 10^{23}$ donc $m_H\simeq 10^{-27}\;\mathrm{kg}$

\exo[Identifier un système ouvert, un système fermé, un système isolé]

\begin{itemize}
    \item La terre: fermé (pas d'échange de matière)
    \item Gaz dans un turboréacteur: ouvert (échange de chaleur)
    \item Univers: isolé
    \item Café: isolé (pas de transfert d'énergie ni de matière)
    \item Résistance: ouvert (transfert de chaleur)
\end{itemize}

\exo[Comparer le comportement d'un gaz réel au modèle du gaz parfait sur des réseaux d'isothermes en coordonnées de Clapeyron ou d'Amagat]

\begin{enumerate}
    \item Les deux sont proches lorsque $P$ est petit ou $V$ est grand
    \item Le gaz réel tend vers vers le gaz parfait lorsque P diminue
\end{enumerate}

\exo[Connaître et utiliser l'équation d'état des gaz parfaits]

\[
    PV=nRT\iff PVM=mRT\iff PM=\rho RT\iff \rho=\frac{PM}{RT}
\]

\exo[Calculer une pression à partir d'une condition d'équilibre mécanique]

Par principe fondamental de la statique, \[
    S(P-P_0)-mg=0\iff P=P_0+\frac{mg}S
\]

\exo[Connaître quelques ordres de grandeur de volumes molaires ou massiques dans les conditions usuelles de pression et de température]

\begin{itemize}
    \item Volume molaire du dioxygène: $V_m\simeq \frac{RT}P\simeq 0,02\;\mathrm{m}^3\cdot \mathrm{mod}^{-1}$
    \item Volume masssique de l'eau: $10^{-3}\;\mathrm{m}^3\cdot \mathrm{kg}^{-1}$
\end{itemize}

\exo[Positionner les phases dans les diagrammes $(P, T)$ et $(P, v)$]

\begin{enumerate}
    \item \textbf{Diagramme $\bm{(P, T)}$:} dans l'ordre: gaz, liquide, solide
    \item \textbf{Diagramme $\bm{(P, v)}$:} dans l'ordre: équilibre liquide-gaz, gaz, gaz, liquide 
\end{enumerate}

\exo[Analyser un diagramme de phase expérimental $(P, T)$]

Dans l'ordre:
\begin{enumerate}
    \item Solidification
    \item Vaporisation
    \item Il n'y a pas de changement d'état
    \item Sublimation ou rien
\end{enumerate}

\exo[Proposer un jeu de variables d'état suffisant pour caractériser l'état d'équilibre d'un corps pur diphasé soumis aux seules forces de pression]

$P$ et $T$ permettent de caractériser l'état du corps. $P$, $V$ et $T$ ne peuvent pas varier de manière indépendante

\exo[Interpréter graphiquement la différence de compressibilité entre un liquide et un gaz à partir d'isothermes expérimentales]

On regarde sur le graphique $\delta P$ et $\delta V$ sur le grapique, et on utilise la formule $\displaystyle \chi=-\frac1V\frac{\delta V}{\delta P}$

\exo[Déterminer la composition d'un mélange diphasé en un point d'un diagramme $(P, b)$]

On place le point $M$ sur le palier formé par la courbe $T=600K$. On note $v_\ell$ et $v_g$ les deux volumes massiques qui correspondent aux extrémités du palier. On a $m=m_\ell+m_g$, soit $V=v_\ell m\ell+v_gm_g=v_Mm$.

Donc $v_Mm=v_\ell m_\ell+v_g(m-m_\ell)\iff m(v_M-v_g)=m_\ell(v_\ell-v_g)$, ce qui est équivalent à \[
    m_\ell =\frac{v_M-v_g}{v_\ell-v_g}=\frac{v_g-v_\ell}=\frac{AM}{AB}
\] avec $A$ et $B$ les points extrêmités du palier.

\exo[Expliquer la problématique du stockage des fluides]

Il faut que la quantité de liquide soit suffisamment petite pour que la pression soit soutenable lorsque la température augmente

\section{Je m'entraîne}

\exo[Dissociation du $Br_2$]

\begin{enumerate}
    \item \[
            PV=nRT\iff V=\frac{nRT}P=\frac{mRT}{PM}\simeq 9\cdot 10^{-4}\;\mathrm m^3
        \]
    \item On a alors $V\simeq 1,9\cdot 10^{-4}\;\mathrm m^3$
\end{enumerate}

\exo[Humidité relative]

\[
    P_{e\!a\!u}=0.8 P_s(\mathrm{H}_2\mathrm O)\simeq 1864\;\mathrm P
\]
Or \[
    PV=nRT\iff m=\frac{PVM}{RT}\simeq 826\;\mathrm g
\]

\exo[Azote liquide]

\[
    PV=nRT\iff P=\frac{nRT}V=\frac{mRT}{MV}=\frac{\rho RT}{M}\simeq 1,4\cdot 10^9\;\mathrm{Pa}
\]

\exo[Verre avec glaçon]

Par PFD: \[
    \vec \Pi+\vec P=0=m_{\text{glaçon}} g - m_{\text{déplacée}} g\iff m_{\text{glaçon}}=m_{\text{déplacée}}
\]
Donc le niveau d'eau reste inchangé.

\exo[Dilatation d'un parquet]

\begin{enumerate}
    \item \[
            \alpha_L=\frac1{S}\frac{\delta S}{\delta T}\quad\text{avec $S$ la surface}
        \]
    \item Il faut laisser des espaces pour laisser de la place à des éventuelles dilatations
    \item Il faut prendre ce genre de précaution pour l'usinage des pièces métalliques (on travaille les pièces à chaud, le volume change quand les pièces refroidissent)
\end{enumerate}

\exo[Pompe isotherme]

\begin{enumerate}
    \item On mélange un gaz parfait $(P_0, v_1)$ (grâce à la soupape $\Sigma_2$, on a $p=P_0$) avec $(P, V)$. On a \[
            \begin{cases}
                P_0v_1=nRT\\
                P_nV=n_VRT
            \end{cases} \implies \begin{cases}
                n=\dfrac{P_0v_1}{RT}\\[4pt]
                n_V=\dfrac{P_nV}{RT}
            \end{cases} \implies P_{n+1}(V+v_2)=(n+n_V)RT=P_0v_1+P_nV
        \]
        d'où \[
            P_{n+1}=\frac{P_0v_1+P_nV}{V+v_2}
        \]
    \item On a $P_{lim}=P_0\dfrac{v_1}{v_2}$. C'est la pression limite. Une fois atteinte, la pompe ne modifie plus la pression dans le volume $V$.
    \item \[
            P_n-P_{lim}=\left(\frac V{V+v_2}\right)^n(P_0-P_{lim})
        \]
        Donc \[
            P_n=\left(\frac V{V+v_2}\right)^n(P_0-P_{lim})+P_{lim}
        \]
        On ne peut pas faire le vide: $(P_n)$ est minorée par $P_{lim}>0$
\end{enumerate}

% \section{Je progresse}
%
% \stepcounter{exo}
%
% \exo[Gaz de Van Der Waals]
%
% \begin{enumerate}
%     \item 
% \end{enumerate}

\chapter{Le premier principe de la thermodynamique}

\section{J'applique mon cours}

\exo[Savoir que $U_m=U_m(T)$ pour un gaz parfait. Citer l'expression de l'énergie interne d'une gaz parfait monoatomique]

Pour un gaz parfait, l'énergie potentielle intérieure est nulle par hypothèse, donc $U_m=E_{c,\text{microscopique}}$. Cette expression ne dépend que de la vitesse des particules, et donc que de la température du gaz.

\exo[Savoir que $U_m=U_m(T)$ pour une hase condensée incompressible et indilatable]

Pour une phase condensée, le volume est constant. $U$ ne dépend que de $T$.

% \exo[Définir un système fermé et établir pour ce système un bilan énergétique faisant intervenir le travail $W$ et le transfert thermique $Q$]
%
% {\color{red} Cf. le titre}
\stepcounter{exo}

\exo[Exploiter l'extensivité de l'énergie interne]

\[
    U=U(T_1)+U(T_2)=\frac32n_1RT_1+\frac32n_2RT_2=\frac32(n_1+n_2)RT_f\iff T_f=\frac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}
\]

\exo[Distinguer le statut de la variation de l'énergie interne du status des termes d'échange]

On peut noter $\Delta U$ puisque $U$ est une fonction d'état extensive, alors que $W$ et $Q$ ne sont pas des fonctions d'état

\exo[Calculer le transfert thermique Q sur un chemin donné connaissant le travail $W$ et la variation de l'énergie interne $\Delta U$]

On a $\Delta U=W+Q\iff Q=\Delta U-W=-W$ car la transformation est isotherme quasi-statique. On a alors \[
    Q=-W=nRT\ln\frac{V_2}{V_1}
\]

\exo[Exprimer l'enthalpie $H_m(T)$ du gaz parfait à partir de l'énergie interne]

\[
    H=U+PV=U(T)+nRT
\]

\exo[Comprendre pourquoi l'enthalpie $H_m$ d'une phase condensée peu compressible et peu dilatable peut-être considérée comme une fonction de l'unique variable $T$]

Pour une phase condensée, $H_m=U_m(T)+PV_m$, or $PV_m\ll U_m(T)$ donc $H_m\simeq U_m$

\exo[Exprimer le premier principe sous forme de bilan d'enthalpie dans le cas d'une transformation monobare avec équilibre mécanique dans l'état initial et dans l'état final]

Si on passe de $(P_1, V_1)$ à $(P_2, V_2)$, on a $W=-P_2V_2+P_1V_1$, et \[ \Delta U=W+Q\iff Q=U_2-U_1+P_2V_2-P_1V_2=\Delta H \]

\exo[Connaître l'ordre de grandeur de la capacité thermique massique de l'eau liquide]

Alors, elle vaut à peu près \[
    C_{v,m}\simeq 4185\;\mathrm{J}\cdot \mathrm{kg}^{-1}\cdot \mathrm{K}^{-1}\simeq 42\cdot 10^2\;\mathrm J\cdot \mathrm{kg}^{-1}\cdot \mathrm K^{-1}
\]

% \exo[Exploiter l'extensivité de l'enthalpie et réaliser des bilans énergétiques en prenant en compte des transitions de phases]
%
% {\color{red} À faire.}
\stepcounter{exo}

\section{Je m'entraîne}

\exo[Détente d'argon]

\begin{enumerate}
    \item On a \[ P_\ell s\ell=nRT_\ell \iff n=\frac{P_\ell s\ell}{RT_\ell}\iff m=\frac{MP_\ell s\ell}{RT_\ell}\simeq 3.5\;\mathrm g  \]
    \item On place l'origine au centre du piston lorsqu'il est bloqué. La transformation est adiabatique, on a donc \[
            W=-\frac K2(x^2)=\Delta U=\frac32 nR(T_2-T_\ell)=\frac{3m}{2M}R(T_2-T_\ell) 
        \]
        et \[
            P_2 s(\ell+x)=nRT_2
        \]
\end{enumerate}

\end{document}
