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\newcounter{exo}[chapter]

\counterwithin*{equation}{exo}

\FPeval{\firstchapter}{clip(3*(\nplan-1)-1)}
\setcounter{chapter}{\firstchapter}

\renewcommand*{\thesection}{\Roman{section}}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{1em}\par\noindent\refstepcounter{exo}%
    \textbf{Exercice \theexo \label{exo:\thechapter-\theexo}}%
    \if\relax\detokenize{#1}\relax\else
        \hspace{1em}---\hspace{1em}%
    \fi
    \textit{#1}%
\par}

% \makeatletter
% \renewcommand\tableofcontents{%
%     \@starttoc{toc}%
% }

\titlecontents{chapter}[0em]{\vspace{0.5ex}}{\bfseries}{\itshape}{}

\begin{document}

\begin{titlepage}
    $\;$\vspace{2cm}

\begin{center}
    {\huge\bfseries Plan de travail n$\bm{\,\!^\circ}$\nplan\\}
 \vspace{1cm}
 {\Large\bfseries Théophile Cailliau} \\
 \vspace{0.5cm}
 \emph{À rendre le lundi 25 février 2019} \\[2cm]
\end{center}

{\let\clearpage\relax \tableofcontents}
{\let\clearpage\relax \listoftodos}
\vfill
\begin{center}
    \includegraphics{figures/not_so_bad.png}
\end{center}
\thispagestyle{empty}
\end{titlepage}

\chapter{Filtrage linéaire}
\section{J'applique mon cours}

\exo[Savoir que l'on peut décomposer un signal périodique en une somme de fonctions sinusoïdales]

\[
    s(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}a\cos(n\omega_0t)+b\sin(n\omega_0t)
\]

\exo[Établir par le calcul la valeur efficace d'un signal sinusoïdal]

\begin{align*}
    v_{e\!f\!\!f}^2=<s^2(t)>=\frac1T\int_0^TS^2\cos^2(\omega t)\;\mathrm dt=\frac{S^2}T\int_0^T \left( \frac12+\frac{\cos(2\omega t)}2 \right)\;\mathrm dt=\frac{S^2}2 \implies v_{e\!f\!\!f}=\frac S{\sqrt 2}
\end{align*}

\exo[Utiliser une fonction de transfert donnée d’ordre 1 ou 2 et ses représentations graphiques pour conduire l’étude de la réponse d’un système linéaire à un signal à une ou deux composantes
spectrales]

\begin{itemize}
    \item C'est un passe-bas d'ordre 1, qui laisse passer les pulsations inférieures à $10\omega_1$. On a $s_2(t)=S_1\cos(\omega t+\varphi)$ avec $\varphi=\arctan(1/10)\approx 0.1$.
    \item C'est un passe-haut d'ordre 1, qui laisse passer les pulsations supérieures à $10\omega_1$. On a $s_2(t)=S_1\cos(100\omega_1t+\varphi)$ avec $\varphi=\frac\pi2-\arctan(1/10)\approx 1.47$.
    \item C'est un passe-bas d'ordre 2, qui laisse passer les pulsations inférieures à $1000\omega_1$ (on a $Q=10$). Alors, $s_2(t)=S_1\cos(\omega_1 t + \varphi_1) + S_1\cos(100\omega_1 t+\varphi_2)$, avec $\varphi_1\ll 1$ et $\varphi_2\approx 0.1$.
    \item C'est un passe-bande, avec $Q=10$ et $\omega_0=\omega_1$. Les pulsations de coupure sont \[
            \omega_{c_1}=-\frac{\omega_1}{2Q}+\frac{\omega_1}2\sqrt{\frac1{100}+4}\approx \omega_1-\frac{\omega_1}{200}\]\[
            \omega_{c_2}=\frac{\omega_1}{2Q}+\frac{\omega_1}2\sqrt{\frac1{100}+4}\approx \omega_1+\frac{\omega_1}{200}
        \]
        Donc $s(t)=S_1\cos(\omega_1 t)$
\end{itemize}

\exo[Utiliser les échelles logarithmiques et interpréter les zones rectilignes des diagrammes
de Bode d’après l’expression de la fonction de transfert]

\begin{center}
    \includegraphics{figures/18-4-1-fonction-transfert.pdf}
\end{center}

\begin{center}
    \includegraphics{figures/18-4-2-fonction-transfert.pdf}
\end{center}

\exo[Expliciter les conditions d’utilisation d’un filtre afin de l’utiliser comme moyenneur,
intégrateur, ou dérivateur]

On cherche à garder le terme constant dans la décomposition en série de fourier. On utilise un passe-bas de pulsation de coupure $\omega_c\ll2\pi f=16000\pi$.

Pour un intégrateur, on a $\underline H=\frac1{j\omega}\approx \frac1{1+\jmath\omega}$ puisque $\omega \gg1$. C'est un passe-bas d'ordre 1 avec $\omega_0=1$.

Pour un dérivateur, $\underline H=\jmath \omega\approx\frac{\jmath \omega}{1+\jmath\omega/\omega_0}$ si $\omega_0 \gg \omega$. On a alors un passe-haut d'ordre 1

\section{Je m'entraîne}

\exo[Filtre passif d'ordre 1]

\begin{enumerate}
    \item En $\omega\to 0$
        \begin{center}
            \includegraphics{figures/18-6-1-1-filtre-asymptotique-0.pdf}
    \end{center}
    En $\omega\to+\infty$,        
    \begin{center}
        \includegraphics{figures/18-6-1-2-filtre-asymptotique-inf.pdf}
    \end{center}
    Le filtre laisse passer les basses fréquences et les hautes fréquences
    \item On a \[ \underline Z_{eq}=\frac{R_2/\jmath C\omega}{R_2+1/\jmath C\omega} \] et \begin{align*}
            \underline H=\frac{R_3}{R_1+\underline Z_{eq}+R_3}&=\frac{R_3R_2+R_3/\jmath C\omega}{(R_2+1/\jmath C\omega)(R_1+R_3)+R_2/\jmath C\omega} \\
            &= \frac{R_3R_2\jmath C\omega + R_3}{(R_2\jmath C\omega+1)(R_1+R_3)+R_2}\\
            &= \frac{R_3}{R_1+R_2+R_3}\cdot \frac{1+R_2\jmath C\omega}{1+R_2\jmath C\omega(R_1+R_3)/(R_1+R_2+R_3)}\\
            &= k\frac{1+\jmath \omega\tau_1}{1+\jmath \omega\tau_2}
        \end{align*}
        Avec $k = \frac{R_3}{R_1+R_2+R_3}$, $\tau_1=R_2 C$ et $\tau_2=R_2C(R_1+R_2)/(R_1+R_2+R_3)$
    \item $\;$
        \begin{center}
            \includegraphics{figures/18-6-3-gdb.pdf}
        \end{center}
\end{enumerate}

\exo[Double circuit RC]

\begin{enumerate}
    \item C'est un filtre passe-bas: quand $\omega\to0$, les condensateurs se comportent comme des interrupteurs ouverts et donc $U_s$ est non-nul, et quand $\omega\to+\infty$, les condensateurs se comportent comme des fils et $U_s=0$.
    \item On note $U_1$ la tension aux bornes de $C_1$. On a \[
            \underline U_s=\frac{1/\jmath C_2\omega}{R_2+1/\jmath C_2\omega}\underline U_1=\frac1{R_2\jmath C_2\omega+1}\underline U_1
        \]
        et \[
            \underline U_1 = \frac{\underline Z_{eq}}{R_1+\underline Z_{eq}}\underline U_e
        \]
        Avec $\underline Z_{eq}$ l'impédance équivalente à l'association de la maille de droite, soit \[
            \underline Z_{eq}=\frac{(R_2+1/\jmath C_2\omega)/\jmath C_1\omega}{R_2+1/\jmath C_1\omega + 1/\jmath C_2\omega}=\frac{R_2+1/\jmath C_2\omega}{R_2\jmath C_1\omega + 1 + C_1/C_2}
        \]
        D'où \[
            \underline U_s=\frac1{1-C_1 C_2 R_1 R_2 \omega^2+\jmath\omega (C_1 R_1 + C_2 R_1 + C_2 R_2 )}\cdot\underline U_e
        \]
        Soit $(\alpha, \beta)=(C_1C_2R_1R_2,\;\; C_1R_1+C_2R_1+C_2R_2)$
    \item Non, on n'a pas $\underline H=\underline H_1^2$. En prenant $R=R_1 = R_2$, $C=C_1 = C_2$, on a $(\alpha, \beta)=(C^2R^2, 3CR)$. Or on a \[
            \underline H_1^2=\frac1{(1+RC \jmath\omega)^2}=\frac1{1-R^2C^2\omega^2+2RC\jmath\omega}
        \] soit $(\alpha, \beta)=(C^2R^2, 2CR)$. On a alors $\omega_0^2=\frac1{RC}$ et $Q=\frac{2RC}{\omega_0}$ au lieu de $Q=\frac{3RC}{\omega_0}$
    \item On a $|\underline H_1^2|\approx 0.495\approx 3.7/7.5\approx|H|$ et $\varphi_1=-90.5^\circ$, soit une différence de $0.5^\circ$ avec $\varphi$. La mesure ne permet pas de révéler un écart flagrant entre $\underline H$ et $\underline H_1^2$.
    \item Dans ces conditions, la deuxième hypothèse nous permet de poser $\underline H=\underline H_1^2$ (on a un courant nul donc pas d'association en parallèle à faire, on a réellement deux filtres du premier ordre à la suite). Il est donc normal de trouver les mêmes résultats.
\end{enumerate}

\exo[Effet d’un filtre passe-bas sur un signal créneau]

\begin{enumerate}
    \item On a \[
            \underline H(\jmath \omega)=\frac1{1+\jmath RC\omega}
        \]
        \textbf{AN:} $\displaystyle f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac1{2\pi RC}\approx 160$ kHz. Beaucoup d'harmoniques sont transmises, avec un déphasage de $-\dfrac\pi2$. Le signal est un signal créneau
    \item \textbf{AN:} $f_c=159$ Hz. Le signal est entièrement coupé.
\end{enumerate}

\section{Je progresse}

\stepcounter{exo}

\exo[Détection synchrone]

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
            \item C'est un filtre passe-bas (circuit RC du premier ordre)
            \item \[
                    \underline H=\frac1{1+\jmath RC\omega}=\frac1{1+\jmath \frac f{f_0}}
                \]
                Avec $f=2\pi\omega$ et $f_0=2\pi\sqrt{\frac1{RC}}$
            \item \begin{align*}
                    |\underline H|^2=\frac1{\sqrt2}&\iff 1+\left(\frac {f_c}{f_0}\right)^2=2\\
                    &\iff f_c=f_0
                \end{align*}
            \item $\;$ \begin{center}
                    \includegraphics{figures/18-10-1-d-1-module.pdf}
            \end{center}
        \item Pour $f\gg f_c$, le filtre coupe le signal, pour $f\ll f_0$, le filtre restitue le signal. C'est un passe-bas.
        \item \[
                \Psi=\arg(\underline H)=-\arg\left(1+\jmath \frac f{f_0}\right)=-\arctan\left(\frac{f}{f_0}\right)=-\arctan\left(\omega\sqrt{RC}\right)
            \]
    \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item On trouve: \[
                \begin{cases}
                    \displaystyle A=\frac12V_eV_{ref}\\[1em]
                    \displaystyle B = \frac12 V_e V_{ref}\\[1em]
                    \displaystyle C = \frac12V_{ref}b_0
                \end{cases}
            \]
        \item Les deux fréquences sont $f_1=100$ Hz et $f_2=1100$ Hz
        \item On a les amplitudes \[
                \begin{cases}
                    \displaystyle S_1=A \\
                    \displaystyle S_2 = |\underline H(4\pi f)|\\
                    \displaystyle S_3= |\underline H(2\pi(f_b-f))| \\
                    \displaystyle S_4=|\underline H(2\pi(f_b+f))|
                \end{cases}
            \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\chapter{Puissance et énergie}

\section{J'applique mon cours}

\exo[Reconnaître le caractère moteur ou résistant d’une force. Savoir que la puissance dépend du référentiel]

\begin{itemize}
    \item \textbf{Cas 1:} moteur
    \item \textbf{Cas 2:} résistant 
\end{itemize}

On a $\vec{O'M}$ constant donc $\vec v_{\mathcal R}=\vec 0$ et $P_{\mathcal R}=0$

\exo[Utiliser la loi de l’énergie ou de la puissance cinétique en fonction du contexte] 

\begin{enumerate}
    \item Loi de la puissance cinétique
    \item Loi de l'énergie cinétique
\end{enumerate}

\exo[Établir et connaître les expressions des énergies potentielles de pesanteur (champ uniforme), énergie potentielle gravitationnelle (champ créé par un astre ponctuel), énergie potentielle élastique, énergie électrostatique (champ uniforme et champ créé par une charge ponctuelle)]

On a $E_p=-\int \vec F\;\mathrm d\vec{OM}$

\begin{itemize}
    \item Pour le poids, \[
            E_p=-\int-mg\vec e_z(\mathrm dx\vec e_x+\mathrm dy\vec e_y+\mathrm dz\vec e_z)=mgz+\text{cte}
        \]
    \item Pour la force gravitationnelle, \[
            E_p=\int \mathcal G\frac{Mm}{r^2}\vec e_r(\mathrm dr\vec e_r+\alpha\vec e_\theta + \beta\vec e_\varphi)=-\mathcal G\frac{Mm}r+\text{cte}
        \]
    \item Pour l'énergie éléctrostatique,  \[
            E_p=-\int \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0r^2}\vec e_r(\mathrm dr\vec e_r+\alpha\vec e_\theta + \beta\vec e_\varphi)=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0r}+\text{cte}
        \]
    \item Pour l'énergie potentielle élastique, \[
            E_p=\int k(x-\ell_0)\vec e_x(\mathrm dx\vec e_x+\mathrm dy\vec e_y+\mathrm dz\vec e_z)=\int k(x-\ell_0)dx=\frac k2(x-\ell_0)^2+\text{cte}
        \]
\end{itemize}

\begin{center}
    \begin{tabular}{c|c}
        % \hline
        $E_p=-\frac{k1}r+k_2$ & Force en $1/r^2$ \\
        \\[-1em]
        \hline \\[-1em]
        $E_p=-k_1x+k_2$ & Le poids \\
        \\[-1em]
        \hline \\[-1em]
        $E_p=\frac12k_1z^2-k_2z+k_3$ & Force élastique\\
        % \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\exo[Distinguer force conservative et force non conservative. Reconnaître les cas de conservation de l’énergie mécanique. Utiliser les conditions initiales.]

\begin{enumerate}
    \item $\displaystyle W=\int_A^B \vec F\;\mathrm d\vec{OM}=\int_{x_A}^{x_B}k\;\mathrm dx$ est indépendant de la trajectoire. C'est une force conservatrice
    \item $\displaystyle W=\int_A^B\vec F\;\mathrm d\vec{OM}=\int_A^B-K\mathrm d\vec r\cdot \vec e_r=\int_{r_A}^{r_B}-K\;\mathrm dr$ est indépendant de la trajectoire, c'est une force conservatrice.

    \item $\displaystyle W=\int_A^B\vec F\;\mathrm d\vec{OM}=\int_{r_A}^{r_B}kr^2\vec u_r\;\mathrm dr\vec u_r$ ne dépend pas de la trajectoire, c'est une force conservatrice.
\end{enumerate}

\exo[Déduire d’un graphe d’énergie potentielle le comportement qualitatif : trajectoire bornée ou non, mouvement périodique, positions de vitesse nulle]

\begin{itemize}
    \item Pour $E_m=0.5J$, le mouvement n'est pas périodique (état de diffusion), il n'y a pas de point de vitesse nulle.
    \item Pour $E_m=0J$, le mouvement n'est pas périodique (état de diffusion), les points de vitesse nulle sont en $x=0$, $x=1$.
    \item Pour $E_m=-0.5J$, le mouvement est périodique (état lié), les points de vitesse nulle sont en $x=1.5$ et $x=6$.
\end{itemize}

\exo[Expliquer qualitativement le lien entre le profil d’énergie potentielle et le portrait de phase]

\begin{center}
    \includegraphics{figures/19-6-portrait-phase.pdf}
\end{center}

\exo[Déduire d’un graphe d’énergie potentielle l’existence de positions d’équilibre, et la nature stable ou instable de ces positions]

Il y a deux positions d'équilibre: en $x=0.5$ et en $x=3.5$. La première est instable et la seconde est stable.

\exo[Identifier la situation de petits mouvements autour d’une position d’équilibre au modèle de l’oscillateur harmonique]

On se place à $x=x_e+\varepsilon$, avec $x_e=-1/\sqrt3$ et $\varepsilon$ petit. On a 
\[
    E_p(x_e+\varepsilon)\approx E_p(x_e)+\varepsilon\frac{\mathrm dE_p}{\mathrm dx}(x_e)+\frac{\varepsilon^2}2\frac{\mathrm d^2E_p}{\mathrm dx^2}(x_e)=E_p(x_e)+\frac{\varepsilon^2}2\frac{\mathrm d^2E_p}{\mathrm dx^2}(x_e)
\]
On note $\gamma=\dfrac{\mathrm d^2E_p}{\mathrm dx^2}(x_e)=2k\sqrt3$. On a \[
    F(x)=-\frac{\mathrm dE_p}{\mathrm dx}(x)=-\frac{\mathrm dE_p}{\mathrm d\varepsilon}(\varepsilon)=-\gamma\varepsilon
\] D'où \[
    \ddot \varepsilon+\frac\gamma m\varepsilon=0
\]
C'est une équation d'oscillateur harmonique, de pulsation propre \[
    \omega_0=\sqrt{\frac\gamma m}\implies T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac m{2k\sqrt3}}
\]

\exo[Évaluer l’énergie minimale nécessaire pour franchir une barrière de potentiel]

Il faut apporter une énergie \[
    \Delta E>\left|{E_p}_{max}-{E_p}_{eq}\right|\approx 1
\]

\section{Je m'entraîne}

\exo[Traction ferroviaire]

\begin{enumerate}
    \item On a \begin{align*}
            \mathcal P+\mathcal P(\vec P)+\mathcal P(\vec T)=\frac{\mathrm dE_c}{\mathrm dt}=m\dot vv &\iff \mathcal P+\vec P\cdot \vec v+\vec T\cdot \vec v=m\dot vv\\
            &\iff \mathcal P-mg(\sin\alpha\vec e_y+\cos\alpha\vec e_x)\cdot v\vec e_x+T\vec e_x\cdot v\vec e_x=m\dot vv\\
            &\iff \mathcal P-mg\cos\alpha v+Tv=m\dot vv
        \end{align*}
        À la vitesse limite, on a $\dot v=0$ donc \[
            \mathcal P=-v(T-mg\cos\alpha)\iff v=\frac{\mathcal P}{mg\cos \alpha-T}
        \]
\end{enumerate}

\exo[Inversion de la molécule d'ammoniac]

\begin{enumerate}
    \item On a \[ E_p=-\int F=\int\alpha z(z^2-a^2)\;\mathrm dz=\frac\alpha2\left(\frac{z^4}2-a^2z^2\right)+\text{cte} \]
        \begin{center}
            \includegraphics{figures/19-11-1-ep.pdf}
        \end{center}
    \item On a le portrait de phase suivant:
        \begin{center}
            \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figures/19-11-2-phase.png}
        \end{center}
\end{enumerate}

\section{Je progresse}

\exo[Monoxyde de carbone]

\begin{enumerate}
    \item \[
            E_p=\frac b{12x^{12}}-\frac a{6x^6}
        \]

    \item À l'équilibre, \[
            \vec F=\vec 0\iff \frac a{x^7}=\frac b{x^{13}}\iff \ell_{eq}=\sqrt[6]{\frac ba}=1.11\cdot 10^{-10}
        \] 
        $\vec F$ ne s'annule qu'une fois sur la partie positive de $Ox$. On a \[
            |\vec F|\underset{x\to 0^+}{\sim}\frac b{x^{13}}\underset{x\to 0^+}\longrightarrow +\infty\quad\text{ et }\quad |\vec F|\underset{x\to+\infty}\sim-\frac a{x^7}\underset{x\to+\infty}\longrightarrow 0^-
        \]
        Donc $E_p$ est convexe au voisinage de $\ell_{eq}$, et l'équilibre est stable.
    \item Il faut apporter une énergie cinétique $\Delta E_c>-E_p(\ell_{eq})=\frac{a^2}{12b}$. 
        On a alors \[
            \frac 12m{v_{0}}_{min}^2=\frac{a^2}{12b}\iff {v_0}_{min}=\sqrt{\frac{ma^2}{6b}}\approx 1.82\cdot 10^{-22}\;\mathrm m\cdot \mathrm s^{-1}
        \]
    \item On a, au voisinage de $x=\ell_{eq}$, \[
            E_p(x)=E_p(\ell_{eq}+\varepsilon)=E_p(\ell_{eq})+\frac{\varepsilon^2}2\cdot \frac{\mathrm d^2E_p}{\mathrm dx^2}(\ell_{eq})=-\frac{a^2}{12b}+\frac{k\varepsilon^2}2
        \] avec $\displaystyle k=\frac{\mathrm d^2E_p}{\mathrm dx^2}(\ell_{eq})=\frac{6a(a^2b)^{\frac 23}}{b^2}$
    \item On dérive par rapport à $\varepsilon$:
        \[
            -F(x)=k\varepsilon=-m\ddot x=-m\ddot\varepsilon\iff \ddot \varepsilon+\frac km\varepsilon=0\iff \ddot x+\frac km (x-\ell_{eq})=0
        \]
    \item On résoud pour $\varepsilon$. On a \[
            \varepsilon(t)=\frac{v_0}\omega \sin(\omega t)
        \] avec $\omega=\sqrt{\dfrac km}=\dfrac{(a^2b)^{\frac13}}b\sqrt{\dfrac{6a}{m}}$ (solution d'un oscillateur harmonique avec $\varepsilon(0)=0$). On a de plus \[
            x(t)=\ell_{eq}+\varepsilon(t)=\ell_{eq}+\frac{v_0}\omega\sin(\omega t)
        \]
    \item On a la fréquence \[
            f=\frac\omega{2\pi}
        \]
\end{enumerate}

\chapter{Équilibres acide-base et de précipitation}

\section{J'applique mon cours}

\exo[Déterminer la valeur de la constante d’équilibre pour une équation de réaction, combinaison linéaire d’équations dont les constantes thermodynamiques sont connues]

On a l'équation 
\begin{center}

\ce{CO_{2(g)} +3 H_2 O + Ca^2+ <=> CaCO_3 + 2 H_3 O^+}
\end{center}
Et la constante d'équilibre \[
    K=K_1\cdot \frac1{K_s}\cdot K_3\cdot K_2
\]

\exo[Retrouver les valeurs de constantes d’équilibre par lecture de courbes de distribution et de diagrammes de prédominance (et réciproquement)]

\begin{enumerate}
    \item De gauche à droite: $\mathrm H_3\mathrm A$, $\mathrm H_2\mathrm A^+$, $\mathrm H\mathrm A^{2+}$, $\mathrm A^{3+}$
    \item Les $pKa_i$ sont aux intersections des courbes: \begin{itemize}
            \item $pK\!a_1=3$
            \item $pK\!a_2=4,7$
            \item $pK\!a_3=6,5$
        \end{itemize}
        On a à chaque fois $K\!a_i=10^{-pK\!a_i}$
    \item \begin{enumerate}
            \item $c=0.84\;\mathrm g \cdot \mathrm L^{-1}$
            \item 
        \end{enumerate}
        
\end{enumerate}

\exo[Utiliser les diagrammes de prédominance ou d’existence pour prévoir les espèces incompatibles ou la nature des espèces majoritaires]

Dans une solution acide, Cu(OH)$_2$ est majoritaire, et en milieu basique, NH$_4^+$ est majoritaire. Les deux espèces NH$_3$ et Cu$^{2+}$ coexistent.

\exo[Déterminer la composition chimique du système dans l’état final, en distinguant les cas d’équilibre chimique et de transformation totale, pour une transformation modélisée par une réaction chimique unique]

\begin{enumerate}
    \item On a $[\mathrm{OH}^-]=10^{-2}\;\mathrm{mol}\cdot \mathrm L^{-1}$ et $[\mathrm{H_3O}^+]=\frac{K_e}{[\mathrm{HO^-}]}=10^{-12}\;\mathrm{mol}\cdot \mathrm L^{-1}$, donc $pH=12$
\end{enumerate}

\setcounter{exo}{6}

\section{Je m'entraîne}

\stepcounter{exo}

\exo[Détermination du $pK_A$ d'un indicateur coloré]

\begin{enumerate}
    \item C'est du jaune.
    \item C'est du cyan.
    \item \begin{enumerate}
            \item On a $c=[\mathrm{In}^-]+[\mathrm{HIn}]$. En milieu fortement acide, $A_1=\epsilon_1 \ell c$ et en milieu fortement basique, $A_2=\epsilon_2 \ell c$. On a donc $A_s=\epsilon_1\ell [\mathrm HIn]+\epsilon_2\ell \mathrm{[In^-]}$. En combinant, on a \[
                    A_1-A_s=\epsilon_1\ell(c-[\mathrm{HIn}])-\epsilon_2\ell[\mathrm{In}]=(\epsilon_1-\epsilon_2)\ell[\mathrm{In}]
                \]
                \[
                    A_s-A_2=\epsilon_1\ell[\mathrm{HIn}]+\epsilon_2\ell([\mathrm{In}^-]-c)=(\epsilon_1-\epsilon_2)\ell[\mathrm{HIn}]
                \]
                d'où le résultat.
        \item On a \[
                pK\!a=pH+\log\left(\frac{[\mathrm{In}^-]}{[\mathrm{HIn}]}\right)\approx 7,10 +0,05 = 7,2
            \]
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
