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\newcommand{\todo}[1]{{\color{purple}\textbf{À faire:} #1}}
% \newcommand{\todo}[1]{}

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\newcounter{exo}[chapter]

\counterwithin*{equation}{exo}

\FPeval{\firstchapter}{clip(3*(\nplan-1))}
\setcounter{chapter}{\firstchapter}

\renewcommand*{\thesection}{\Roman{section}}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{1em}\par\noindent\refstepcounter{exo}%
    \textbf{Exercice \theexo \label{exo:\thechapter-\theexo}}%
    \if\relax\detokenize{#1}\relax\else
        \hspace{1em}---\hspace{1em}%
    \fi
    \textit{#1}%
\par}

\makeatletter
\renewcommand\tableofcontents{\@starttoc{toc}}
\makeatother

\titlecontents{chapter}[0em]{\vspace{0.5ex}}{\bfseries}{\itshape}{}

\begin{document}

\begin{titlepage}
    $\;$\vspace{2cm}

    \begin{center}
        {\huge\bfseries Plan de travail n$\bm{\,\!^\circ}$\nplan\\}
        \vspace{1cm}
        {\Large\bfseries Théophile Cailliau} \\
        \vspace{0.5cm}
        \emph{À rendre le vendredi 06 mai 2019} \\[1cm]
    \end{center}

    {\let\clearpage\relax \tableofcontents}
    % {\let\clearpage\relax \listoftodos}
    \vfill
    \begin{center}
        \includegraphics[width=0.6\linewidth]{figures/help-me.png}
    \end{center}
    \thispagestyle{empty}
\end{titlepage}

\chapter{Équilibres d'oxydo-réduction}

\section{J'applique mon cours}

\exo[Prévoir les nombres d'oxydation extrêmes d'un élément à partir de sa position dans le tableau périodique]

% Trouver les n.o sur internet
\begin{itemize}
    \item Oxygène: $-$II
    \item Hydrogène: $+$I
    \item Phosphore: $+$III
    \item Chrome: $+$III
\end{itemize}

\exo[Identifier l'oxydant et le réducteur d'un couple]

\begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c}
        Équation & Oxydant & Réducteur \\
        \hline \ce{ClO- + 2H+ + 2e- <=> Cl- + H2O} & \ce{ClO-} & \ce{Cl-}\\
        \hline \ce{Fe(OH)2 + H2O <=> Fe(OH)3 + H+ + e-} & \ce{Fe(OH)3} & \ce{Fe(OH)2}\\
        \hline \ce{BrO3- + 4H+ + 4e- <=> BrO- + 2H2O} & \ce{BrO3-} & \ce{BrO-}\\
        \hline \ce{I2 + 3H2O + 5e- <=> IO3- + 6H+} & \ce{I2} & \ce{IO3-}\\
        \hline \ce{ClO4- + 8H+ + 7e- <=> Cl2 + 4H2O} & \ce{ClO4-} & \ce{Cl2}\\
        \hline \ce{C + 2H2O <=> CO3^2- + 6H+ + 4e-} & \ce{CO3^2-} & \ce{C}\\
        \hline \ce{HO2- <=> O2 + H+ + 2e-} & \ce{O2} & \ce{HO2-}\\
        \hline \ce{IO3- + 6H+ + 6e- <=> I- + 3H2O} & \ce{IO3-} & \ce{I-}\\
    \end{tabular}
\end{center}

\exo[Décrire le fonctionnement d'une pile à partir d'une mesure de tension à vide ou à partir des potentiels d'électricité]

\begin{enumerate}
    \item On a, par la formule de Nernst, \[
            \ce{Ag+ + e- <=> Ag} \implies E_1 := E(\ce{Ag+}/\ce{Ag})=0,76 \mathrm V
        \]
        \[
            \ce{Zn^2+ + 2e- <=> Zn} \implies E_2 := E(\ce{Zn^2}/\ce{Zn}) = -0,78 \mathrm V
        \]

        Le couple $(1)$ porte la borne $+$, l'autre la borne $-$. L'équation de fonctionnement est \[
            \ce{Zn + 2Ag+ <=> Zn^2+ + 2Ag}
        \]

    \item À l'équilibre $E_1=E_2$. En isolant $K$ la constante d'équilibre de la réaction: \[
            K = 10^{\frac{E^\circ(\ce{Ag+}/\ce{Ag})-E^\circ(\ce{Zn^2}/\ce{Zn})}{0.03}}=10^{52}
        \]
        Donc \[
            [\ce{Zn^2+}]_{eq}=10^{52}[\ce{Ag+}]^2_{eq}
        \]
        Donc il n'y aura plus de Ag$^+$
\end{enumerate}

\exo[Utiliser les diagrammes de prédominance ou d'existence pour prévoir les espèces incompatibles ou la nature des espèces majoritaires]

D'après les diagrammes, \ce{Cu^2+} et \ce{Zn} sont incompatibles. Donc \[
    \ce{Cu^2+ + Zn <=> Zn^2+ + Cu}
\]

\exo[Prévoir qualitativement ou quantitativement le caractère thermodynamiquement favorisé ou défavorisé d'une réaction d'oxydo-réduction]

En isolant $K$ avec $E(\ce{Zn^2+}/\ce{Zn})=E(\ce{Cu^2+}/\ce{Cu})$ à l'équilibre:
\[
    K = 4,6\cdot 10^{36}
\]

\section{Je m'entraîne}

\exo[Équilibrage de réactions rédox]

En milieu acide:
\begin{center}
    \begin{tabular}{ccc}
        \ce{ClO4- + 4I- + 4H+ & <=> & Cl- + 4HIO} \\
        \ce{H3AsO4 + H2C2O4 & <=> & HAsO2 + 2H2O + 2CO2} \\
        \ce{2Cr2O7^2- + 3CH3OH + 16H+ & <=> & 4Cr^3+ + 3HCOOH + 11H2O}\\
        \ce{PbO2 + H2O2 + 2H+ & <=> & O2 + Pb^2+ + 2H2O}\\
        \ce{SbO5 + 2H2S + 4H+ & <=> & 2SbO+ + 3H2O + S} \\
        \ce{IO3- + 5I- + 6H+ & <=> & 3I2 + 3H2O} \\
        \ce{3NO3- + 8Al + 27H+ & <=> & 3NH3 + 9H2O + 8Al^3+} \\
        \ce{3F2 + 3H2O & <=> & 6F- + O3 + 6H+}
    \end{tabular}
\end{center}

En milieu basique:
\begin{center}
    \begin{tabular}{ccc}
        \ce{NO3- + H2O + S^2- & <=> & S + NO2- + 2HO-} \\
        \ce{6MnO4- + I- + 6HO- & <=> & 6MnO3- + IO3- + 3H2O} \\
                               & \vdots &
    \end{tabular}
\end{center}

\stepcounter{exo}

\exo[Réaction d'oxydo-réduction]

\begin{enumerate}
    \item \[
            \ce{Cd^2+ + Fe <=> Fe^2+ + Cd}\qquad K=\frac{[\ce{Fe^2+}]}{[\ce{Cd^2+}]}
        \]
        On isole $K$ avec l'égalité des potentiels à l'équilibre et la formule de Nernst: \[
            K = 21,5
        \]

    \item \[
            K=\frac {x_{eq}}{c_0-x_{eq}}=21,5 \implies x_{eq}\approx 9,55\cdot 10^{-3}\;\mathrm{mol}\cdot \mathrm L^{-1}
        \]
        Donc \(
        [\ce{Cd^2+}] = 4,5\cdot 10^{-4}
        \) mol$\cdot$L$^{-1}$ et $[\ce{Fe^2+}]=9,55\cdot 10^{-3}$ mol$\cdot$L$^{-1}$
\end{enumerate}

\exo[Dosage d'une solution d'eau oxygénée]

\begin{enumerate}
    \item \[
    \ce{6H+ + 2MnO4- + SH2O2 <=> 2Mn^2+ + SO2 + 4H2O}
        \]

    \item À l'équilibre, $n_{H_2O_2}=n_{Mn^{2+}}$ donc \( V_{eq} = \dfrac{c_0 V_0}c \). \textbf{AN:} $V_{eq}=9$ mL.
\end{enumerate}

\chapter{Lois de l'induction}

\section{J'applique mon cours}

\exo[Évaluer le flux d'un chap magnétique uniforme à travers une surface s'appuyant sur un contour fermé orienté plan]

\begin{enumerate}
    \item \[
            \phi=\vec B_0\cdot \vec S=-B_0S
        \]
    \item \[
            \phi=B_0S
        \]
    \item \[
            \phi=\iint \vec B(r)\cdot \mathrm d\vec S=\frac{\mu_0I}{2\pi}\iint\frac1r \mathrm dr\mathrm dz=\frac{\mu_0I\Delta z}{2\pi}\int \frac{\mathrm dr}{r}=\frac{\mu_0I\ell}{2\pi}\ln \left( \frac{r_0+L}{r_0}\right)
        \]
\end{enumerate}

\exo[Utiliser la loi de Lenz pourprédire ou interpréter les phénomènes physiques observés]

Si $\vec B$ reste constant, il n'y a pas de champ magnétique induit car il n'y a pas de courant induit dans le circuit (la dérivée de $\phi$ est nulle).

Si $\vec B$ augmente (diminue), le champ induit sera \begin{enumerate}
    \item Selon $-\vec u$ ($\vec u$)
    \item Selon $-\vec u$ ($\vec u$)
    \item Selon $-\vec u_\theta$ ($\vec u\theta$)
\end{enumerate}

\stepcounter{exo}

\exo[Différentier le flux propre des flux extérieurs]

Le flux propre est causé par le champ magnétique créé par un circuit. Le flux extérieur est causé par un champ magnétique indépendant du circuit.

\exo[Évaluer et connaître l'ordre de grandeur de l'inductance propre d'une bobine de grande longueur, le champ magnétique créé par une bobine infinie étant donné]

On a un flux \[
    \phi(t)=\iint \vec B\cdot \mathrm d\vec S= \vec B\cdot \vec S =\mu_0 n i(t) N \pi R^2
\]
D'où \[
    L=\mu_0nN\pi R^2=\frac{\mu_0 N^2\pi R^2}{\ell}
\]

\exo[Établir le système d'équations en régime sinusoïdal forcé de deux bobines en interaction mutuelle]

On a le système suivant
\[
    \begin{cases}
        \phi_1(t)=L_1i_1(t)+Mi_2(t)\\
        \phi_2(t)=L_2i_2(t)+Mi_1(t)
        \end{cases}\implies \begin{cases}
        e(t)-R_1i_1(t)&=-\dfrac{\mathrm d\phi_1}{\mathrm dt}=-L_1\dfrac{\mathrm di_1}{\mathrm dt}-M\dfrac{\mathrm di_2}{\mathrm dt}\\[1ex]
        R_2i_2&=-\dfrac{\mathrm d\phi_2}{\mathrm dt}=-L_2\dfrac{\mathrm di_2}{\mathrm dt}-M\dfrac{\mathrm di_1}{\mathrm dt}\\
    \end{cases}
    \]

    % \exo[Conduire un bilan de puissance et d'énergie dans un système siège d'un phénomène d'auto-induction en s'appuyant sur un schéma éléctrique équivalent]
    %
    % \todo{Ça}
    \stepcounter{exo}

    \exo[Connaître des applications dans le domaine de l'industrie ou de la vie courante]

    C'est utilisé dans les transformateurs électriques.

    \exo[Interpréter qualitativement les phénomènes]

    La force de laplace qui s'exerce sur le conducteur est perpendiculaire au plan $(\vec \ell, \vec B)$. Si le circuit entier n'est pas normal à $\vec B$, alors la force de laplace a une composante non-nulle sur $\vec e_\theta$ qui fait tourner le circuit jusqu'à alignement.

    % \exo[Écrire les équations électriques et mécaniques en précisant les conventions de signe]
    %
    % \todo{Ça}
    \stepcounter{exo}

    \exo[Expliquer l'origine des courants de Foucault et en connaître des exemples d'utilisation]

    Un conducteur à proximité d'un circuit alimenté sera parcouru par un courant (le circuit induit un champ magnétique qui induit un courant dans le conducteur). C'est un courant de foucault. C'est utilisé pour chauffer par induction.

    \section{Je m'entraîne}

    \exo[Dissipation par effet Joule]

    \begin{enumerate}
        \item $\phi$ n'est pas constant, donc la f.e.m $e$ est non nulle, et un courant est induit. On a \[
                e=\Omega\phi_0\sin\theta
            \]

        \item La spire est équivalente à un circuit composé d'une résistance $R$ et d'un générateur idéal de tension $e(t)$. On a $e(t)=Ri$, donc \[
                i=\frac{\Omega\phi_0\sin\theta}R
            \]
    \end{enumerate}

    \exo[Adaptation d'impédance]

    \begin{enumerate}
        \item \begin{enumerate}
            \item On a \[
                    i=\frac E{R_s+R_e}\implies p=i(E-R_si)=\frac {E^2}{R_s+R_e}-\frac{R_sE^2}{(R_s+R_e)^2}
                \]
            \item On dérive: \[
                    \frac{\mathrm dp}{\mathrm dR_e}=-\frac{E^2(R_e-R_s)}{(R_e+R_s)^3}
                \]
                La dérivée ne s'annule que pour $R_e=R_s$. On a donc un extrémum pour $R_e=R_s$. C'est un maximum car la dérivée est décroissante localement.
        \end{enumerate}

    \item \begin{enumerate}
        \item On a de même \[
                p=\frac{E^2\cos^2(\omega t)}{R_e+R_s}-\frac{R_sE^2\cos^2(\omega t)}{(R_e+R_s)^2}=\cos^2(\omega t) \left( \frac {E^2}{R_s+R_e}-\frac{R_sE^2}{(R_s+R_e)^2} \right)
            \]
            On a \[
                \frac1T\int_0^T\cos^2(\omega t)\mathrm dt=\frac12\implies p_m=\frac12 \left( \frac {E^2}{R_s+R_e}-\frac{R_sE^2}{(R_s+R_e)^2} \right)
            \]
            On se ramène au 1.(a)
        \item \begin{enumerate}
            \item On a \[
                    \frac{u_1}{u_2}=\left| \frac{\underline u_1}{\underline u_2} \right|=m \iff u_1=m u_2
                \]
            \item Toute la puissance est transmise donc \[
                    u_1i_1=u_2i_2\implies \frac{i_2}{i_1}=m
                \]
            \item On a \[
                    \frac{u_1}{i_1}=\frac{m^2u_2}{i_2}=m^2R_e
                \]
            % \item \todo{Cette question}
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exo[Équilibre d'une spire dans un champ]

\begin{enumerate}
    \item Il y a deux positions d'équilibre: $\theta = 0$ et $\theta = \pi$. Dans n'importe quelle autre configuration, le couple des forces de laplace est non-nul
    \item \begin{itemize}
        \item Si $\theta=0$, alors les forces de laplace sont dirigées vers l'extérieur (il suffit de regarder la direction du produit vectoriel $\mathrm d\vec \ell\land \vec B$):
            \begin{center}
                \includegraphics[height=5cm]{figures/exo-14-theta-0.pdf}
            \end{center}
            L'équilibre est stable
        \item Si $\theta=\pi$, alors les forces de laplace sont dirigées vers l'intérieur. Une petite perturbation causera le retournement de la spire. L'équilibre est instable.
    \end{itemize}
\end{enumerate}

\section{Je progresse}

\stepcounter{exo}
\exo[Propulseur électromagnétique]

\begin{enumerate}
    \item Le courant induit un champ magnétique, qui créé une force de laplace sur le barreau. Le barreau étant mobile, il se déplace.

    \item On a \[
            \mathcal P=i\frac{\mathrm d\phi_p}{\mathrm dt}=Li\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}+i^2\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}=\frac L2\frac{\mathrm di^2}{\mathrm dt}+i^2\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}
        \]
    \item On a, si $x$ est constante \[
            e(t)=Ri+L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}
        \]
        Donc, puisque le terme $Ri^2$ correspond à l'effet joule (donc pas d'énergie magnétique), \[
            \frac{\mathrm d\mathcal E_M}{\mathrm dt}=Li\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}=\frac12L\frac{\mathrm di^2}{\mathrm dt}=\frac12\frac{\mathrm dLi^2}{\mathrm dt}
        \]
        Alors, \[
            P_{meca}=\mathcal P-\frac{\mathrm d\mathcal E_M}{\mathrm dt}=\frac L2\frac{\mathrm di^2}{\mathrm dt}+i^2\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}-\frac12\frac{\mathrm dLi^2}{\mathrm dt}=\frac12i^2\frac{\mathrm dL}{\mathrm dx}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}
        \]
    \item On a $P_{meca}=\vec F\cdot \vec v$ d'où \[
            F=\frac12i^2\frac{\mathrm dL}{\mathrm dx}
        \]
\end{enumerate}

\end{document}
