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\newtheorem*{loi}{Loi}
\newtheorem*{gen}{Généralisation}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defn}{Définition}
\newtheorem*{ex}{Exemple}

\newcommand{\todo}[1]{{\color{purple}\textbf{À faire:} #1}}

\title{Loi de l'induction}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\vspace{1cm}

\section{Faits expérimentaux}

Courant généré par un champ magnétiqe: Pour générer un courant dans une bobine avec un aimant, il faut que l'aimant "bouge".

\section {Loi de Faraday}

\subsection{Flux d'un champ magnétique}

\begin{defn}[Surface orientée]
    Une surface orientée $S$ est définie par son vecteur $\vec S$ normal au plan qui contient la surface tel que $||\vec S||$ soit la mesure de la surface.
\end{defn}

\begin{defn}[Flux]
    Pour un champ magnétique $\vec B$, son flux $\phi$ à travers $\vec S$ est définit par \[
        \phi = \iint \vec B\cdot \mathrm d\vec S
    \]
\end{defn}

\begin{ex}
    Pour un champs magnétique $\vec B$ uniforme, on a \[
        \phi = \iint \vec B\cdot \mathrm d\vec S=\vec B\cdot \iint \mathrm d\vec S=\vec B\cdot \vec S
    \]
\end{ex}

\subsection{Loi de Faraday}

\begin{loi}[Faraday]
    La force éléctromotrice $e$ générée par induction dans un circuit avec un champs magnétique $\vec B$ s'écrit \[
        e=-\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}
    \]
\end{loi}

\begin{ex}[Champs uniforme]
    Pour $\vec B$ uniforme sur la surface, $\phi=\vec B(t)\cdot \vec S$ donc \[
        e=-S\frac{\mathrm dB}{\mathrm dt}(t)
    \]
\end{ex}

\subsection{Loi de Lenz, loi de modération de Lenz}

\begin{loi}
    Les phénomènes d'induction s'opposent aux causes qui les provoquent
\end{loi}

\subsection{Force de Laplace}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{figures/rail-laplace.pdf}
    \caption{Rail de Laplace}
\end{figure}

On a ici
\[
    \phi=\vec B_0\cdot \vec S(t)=B_0S(t) \implies e=-\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}=-B_0\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}(t)
\]
donc $e>0$ car $\vec S$ est décroissante

\begin{loi}[Laplace]
    La force de Laplace $\mathrm d\vec F$ qui s'exerce sur portion de conducteur $\mathrm d\!\vec\ell$ (orienté selon $i$) parcouru par un courant $i$ s'écrit \[
        \mathrm d\vec F=i\mathrm d\!\vec \ell\land \vec B
    \]
\end{loi}

\begin{ex}[Somme des forces de Laplace sur un circuit fermé]
    Dans le circuit suivant:
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics{figures/circuit-ferme-somme-laplace.pdf}
        \caption{Circuit fermé avec des fils de longueur $a$}
    \end{figure}
    \begin{itemize}
        \item Sur $\vec{OA}$: \[
                \vec F_1=\int_0^ai\mathrm dx\vec e_x\land B_0\vec e_z=-iB_0\vec e_y\int_0^a\mathrm dx=-iaB_0\vec e_y
            \]
        \item Sur $\vec{AB}$: \[
                \vec F_2 = \int_0^a i\mathrm dy\vec e_y\land B_0\vec e_z=iaB_0a\vec e_x
            \]
        \item Sur $\vec {BC}$: \[
                \vec F_3 = \int_a^0 i\mathrm dx\vec e_x\land B_0\vec e_z=iaB_0\vec e_y=-\vec F_1
            \]
        \item Sur $\vec {CO}$: \[
                \vec F_4 = -\vec F_2
            \]
    \end{itemize}
    On a donc \[
        \sum \vec F=\vec 0
    \]

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics{figures/spire-somme-laplace.pdf}
        \caption{Spire circulaire}
    \end{figure}
    De même, sur une spire circulaire de rayon $r$, \[
        \vec F = \int_0^{2\pi}ir\mathrm d\theta\vec e_\theta\land B_0\vec e_z=irB_0\int_0^{2\pi}-\sin\theta \vec e_z\mathrm d\theta=irB_0\vec e_z[\cos \theta]_0^{2\pi}=\vec 0
    \]
\end{ex}

\begin{gen}
    Sur un cordon fermé, la somme des forces de laplace est toujours nulle.
\end{gen}

\begin{ex}[Moment des forces de Laplace]
    En un point $M$ sur une spire, $\mathrm d\vec F=i\mathrm d\vec ell\land \vec B_0$ s'applique en $M$ et \[
        \mathrm d\mathcal M_0(\vec F)=\vec {OM}\land \vec F=r\vec e_r\land(ir\mathrm d\theta\vec e_\theta\land B_0\vec e_y)=ir^2B_0\mathrm d\theta(-\sin^2\theta\vec e_x+\sin\theta\cos\theta\vec e_y)
    \]
    D'où, après calculs (on intègre et on linéarise): \[
        {\color{pc}\mathcal M_0(\vec F)}=-i\pi r^2B_0\vec e_x=-iSB_0\vec e_x={\color{pc}\vec m\land \vec B_0}
    \]
\end{ex}

\section{Induction de Von Neumann}

\subsection{Induction propre}

\begin{ex}
    Dans un cordon fermé, le champ magnétique opposé à la surface, on a \[
        e=-\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}(t)=S\frac{\mathrm dB}{\mathrm dt}(t)
    \]
    Donc un courant $i(t)$ passe dans la spire. Ce courant induit un champ magnétique $\vec B_i$, qui a un flux propre: \[
        \phi_p(t)=\iint\vec B_i(t)\cdot \mathrm d\vec S
    \]
    Or $\vec B_i=i(t)\vec k$ donc \[
        \phi_p(t)=\iint i(t)\vec k\cdot \mathrm d\vec S
    \]
\end{ex}

\begin{defn}[Coefficient d'auto-inductance]
    Le coefficient d'auto-inductance $L$ est définit par $\phi_p(t)=Li(t)$, avec $L$ en $H$
\end{defn}

\begin{ex}
    Une bobine traversée par un courant $i$: \[
        \phi_p(t)=Li(t) \implies e(t)=-L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}(t)
    \]
    L'équivalent éléctrique est
    \begin{center}
        \begin{circuitikz}
            \draw (0, 0) to [V=$e(t)$, i>=$i$] (2, 0);
        \end{circuitikz}
    \end{center}
    Pour lequel on a \[
        u(t)=-e(t)=L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}(t)
    \]
\end{ex}

\begin{ex}[Flux à travers une spire]
    Avec $\vec B$ colinéaire à $\vec S$, $N$ le nombre de spires \[
        \phi_p(t)=NSB(t)
    \]
    Or à l'intérieur on a, avec $n=\frac N\ell$ \[
        \vec B=\mu_0 n i(t)\vec e_z\implies \phi_p(t)=\frac1\ell\mu_0N^2Si(t)=Li(t)
    \]
    D'où \[
        L=\frac1\ell\mu_0N^2S
    \]
\end{ex}

\subsection{Inductance mutuelle}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{figures/inductance-mutuelle.pdf}
    \caption{}
\end{figure}

On a ici \[
    \phi_{1\to2}(t)=\iint\vec B_1\cdot \mathrm d\vec S=\iint\vec k_1\cdot \mathrm d\vec S i_1(t)=M_{12} i_1(t)
\]
où $M_{12}$ est appelé coefficient d'inductance mutuelle. On a de même \[
    \phi_{2\to1}(t)=M_{2,1}i_2(t)
\]
On admet que $M_{21}=M_{12}=M$, qui est une grandeur algébrique. On a de plus \[
    \phi_{p_1}(t)=L_1i_1(t) \qquad \text{ et }\qquad \phi_{p_2}(t)=L_2i_2(t)
\]

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{figures/circuits-bobines-inductances-mutuelles.pdf}
    \caption{}
\end{figure}

On a ici les flux totaux \[
    \begin{cases}
        \phi_{t_1}(t)=\phi_1(t)+\phi_{2\to1}(t) \\
        \phi_{t_2}(t)=\phi_2(t)+\phi_{1\to2}(t)
        \end{cases} \iff \begin{cases}
        \phi_{t_1}(t)=L_1i_1(t)+Mi_2(t)\\
        \phi_{t_2}(t)=L_2i_2(t)+Mi_1(t)
    \end{cases}
\]
Pour un système en influence totale, $L_1=kN_1^2$, $L_2=kN_2^2$ et $M=kN_1N_2$. On a \[
    \begin{cases}
        e_1(t)=-\dfrac{\mathrm d\phi_{t_1}}{\mathrm dt}(t)\\[1em]
        e_2(t)=-\dfrac{\mathrm d\phi_{t_2}}{\mathrm dt}(t)
    \end{cases}
\]
En régime sinusoïdal forcé: \[
    \begin{cases}
        \underline e_1(t)=-j\omega\underline \phi_{t_1}(t) \\
        \underline e_2(t) = -j\omega\underline\phi_{t_2}(t)
    \end{cases}
\]
Équivalent éléctrique:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{figures/circuits-equivalent-inductances-mutuelles.pdf}
    \caption{}
\end{figure}
Donc on a \begin{align*}
    \begin{cases}
        \underline u_1(t)=-j\omega(L_1\underline i_1(t)+M\underline i_2(t))\\
        \underline u_2(t)=-j\omega(L_2\underline i_2(t)+M\underline i_1(t))
    \end{cases} &\iff \begin{cases}
        \underline u_1(t)=-j\omega(kN_1^2\underline i_1(t)+kN_1N_2\underline i_2(t))\\
        \underline u_2(t)=-j\omega(kN_2^2\underline i_2(t)+kN_1N_2\underline i_1(t))
    \end{cases} \\
    &\iff \begin{cases}
        \underline u_1(t)=-j\omega kN_1(N_1\underline i_1(t)+N_2\underline i_2(t))\\
        \underline u_2(t)=-j\omega kN_2(N_2\underline i_2(t)+N_1\underline i_1(t))
    \end{cases} \\
    &\implies \left|\frac{\underline u_1}{\underline u_2}\right|=\frac{N_2}{N_1}
\end{align*}
C'est le même phénomène que dans un transformateur idéal. Dans ce cas, on appelle $\frac {N_2}{N_1}$ le rapport de transformation

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{figures/transformateur-ideal.pdf}
    \caption{Transformateur idéal}
\end{figure}
Dans un transformateur idéal, il y a transfert total d'énergie du circuit primaire au secondaire, donc \[
    \mathcal P_1=\mathcal P_2\implies -u_1 i_1=-u_2 i_2 \implies \frac{i_2}{i_1}=\frac{N_1}{N_2}=\frac1{\text{rapport de transformation}}
\]

\subsection{Courants de Foucault}

On considère un montage dans lequel une barre métallique (conductrice) est entourée de spires de conducteur parcouru par un courant $i$. Il y a donc génération d'un champ magnétique $\vec B(t)$. Par induction, il y a génération d'un courant dans la barre métallique qu'on appelle \emph{Courant de Foucault}.

La barre métallique est équivalente à une résistance, elle dégage donc de l'énergie par effet Joule.

\section{Induction de Lorentz}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{figures/rail-laplace.pdf}
    \caption{Rail de Laplace (champ magnétique constant)}
\end{figure}

On a le flux \[
    \phi(t)=\iint \vec B_0\cdot \mathrm d\vec S=\vec B_0\cdot \vec S=B_0S
\]
Or $S(t)=ax(t)$ donc \[
    \phi=B_0ax(t) \implies e(t)=-B_0av(t)
\]

Le circuit est éléctriquement équivalent, en prenant en compte l'auto-induction, à
\begin{center}
    \begin{circuitikz}
        \draw (0, 2) to [short, i_=$i(t)$] (0, 0) to [R=$R$] (2, 0) to [cute inductor=$L$] (2, 2) to [V_=$e(t)$] (0, 2);
    \end{circuitikz}
\end{center}
En négligeant l'auto-induction, on a \[
    e(t)=Ri(t) \implies i(t)=-\frac1RB_0av(t)
\]
D'un point de vue mécanique, les forces s'exerçant sur le conducteur mobile sont le poids, la réaction du support et la force de Laplace. On a $\vec P+\vec R=\vec 0$, et \[
    \mathrm d\vec F=i\mathrm d\!\vec\ell\land\vec B_0=-i\mathrm dyB_0\vec e_x \implies \vec F=\int_0^ai(t)B_0\vec e_x\mathrm dy=i(t)B_0 a\vec e_x
\]
D'où, par PFD \[
    m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}(t)=\vec F=i(t)B_0a\vec e_x=-\frac1R(B_0a)^2v(t) \iff \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}+\frac{(B_0a)^2}{Rm}v(t)=0
\]
Donc on a \[
    v(t)=v_0 e^{-t/\tau}, \quad v_0<0
\]



\end{document}
