\documentclass{article}

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\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumi}}


\begin{document}

\begin{center}
    {\LARGE\bfseries DM \no1\\}
 \vspace{0.5cm}
 {\large\bfseries Théophile Cailliau} \\
 \vspace{0.5cm}
    \emph{À rendre le lundi 31 janvier 2019} \\[1cm]
\end{center}


\noindent \textbf{Problème 1} 

\begin{center}
    \large\emph{Préliminaires} \vspace{0.5cm}
\end{center}

\begin{enumerate}
    \item On montre le résultat par récurrence. \begin{itemize}
            \item \textbf{Initialisation:}  \[
                    f^{(0)}(a)+\int_a^bf'(t)\;\mathrm dt=f(a)+f(b)-f(a)=f(b)
                \]
            \item \textbf{Pas récurrent:} \begin{align*}
                    &\quad \sum_{k=0}^{n+1}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^b\frac{(b-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\;\mathrm dt \\
                    &= \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)+\sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a) \\
                    & \qquad\qquad+\frac 1{(n+1)!}\left(\left[(b-t)^{n+1}f^{(n+1)}(t)\right]_a^b+(n+1)\int_a^b(b-t)^nf^{(n+1)}(t)\;\mathrm dt\right) \\
                    &= \sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^b\frac{(b-t)^{n}}{(n)!}f^{(n+1)}(t)\;\mathrm dt \\
                    &= f(b)
                \end{align*}
        \end{itemize}
    \item Soit $n\in\mathbb N$ et $x\in [0,1]$. On prend $b=x$, $a=0$. On a \begin{align*}
            0\leq t\leq x&\implies 1\leq e^t\leq e\\
            &\implies 0\leq\frac{(x-t)^n}{n!}e^t\leq\frac{e(x-t)^n}{n!} \\
            &\implies 0\leq e^x-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{n!}=\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}e^t\;\mathrm dt\leq\frac e{n!}\int_0^x(x-t)^n\;\mathrm dt=\frac {ex^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac e{(n+1)!}
        \end{align*}
        puisque $x\in[0,1]$
\end{enumerate}

\begin{center}
    \large\emph{Partie A} \vspace{0.5cm}
\end{center}

\begin{enumerate}
    \item $\psi$ est strictement croissante sur $\mathbb R_-$ (on a $\psi'(x)=1-2x>0$ sur $\mathbb R_-$) et continue, donc injective. Elle est surjective sur $f(\mathbb R_-)=\mathbb R_-$ (pour $x\leq 0$, on a $x\leq x^2$ donc $\psi(x)\leq 0$, et on a $\psi(0)=0$). Donc $\psi$ est bijective de $\mathbb R_-$ dans $\mathbb R_-$
\end{enumerate}

\end{document}
