\documentclass{article}

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\title{Démos étoilées, semaine 7}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\noindent \textbf{Inégalité de Cauchy-Schwarz:} Pour $n\in \mathbb N^*$, $(x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n)\in \mathbb R^{2n}$, on a \[
    \left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i^2\right)
\]

\begin{proof}
    On considère le polynome en $t$
    \[
        \sum_{i=1}^n(x_i+ty_i)^2=\sum_{i=1}^nx_i^2 + 2t \sum_{i=1}^nx_iy_i + t^2\sum_{i=1}^ny_i^2\geq 0
    \]
    C'est un polynome du second degré si et seulement si $\exists i\in\llbracket 1, n\rrbracket, y_i\neq 0$.
    \begin{itemize}
        \item Si $\forall i \in \llbracket 1, n\rrbracket, y_i=0$, alors l'inégalité de Cauchy-Schwarz est clairement vérifiée
        \item Sinon, on sait que le polynome est toujours positif donc on a \[
                \Delta = 4\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2-4\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i^2\right)\leq 0
            \]
            Ce qui est équivalent à l'inégalité voulue.
    \end{itemize}
\end{proof}

\noindent \textbf{Irrationalité de $\bm{\sqrt 2}$}

\begin{proof}
    On suppose $\sqrt2$ rationnel. Alors, il existe $(p, q)\in (\mathbb N^*)^2$ tels que $p\land q=1$ et $\sqrt2=\frac pq$. On a alors \[
        2q^2=p^2\implies \exists k\in \mathbb N^*, p^2=4k
    \]
    Donc $p$ est pair et \[
        2q^2=4k^2\iff q^2=2k^2 \implies 2|q
    \]
    Donc $q$ est pair, ce qui contredit l'hypothèse $p\land q=1$. Donc $\sqrt 2$ est irrationel.
\end{proof}

\noindent \textbf{Densité de $\bm{\mathbb Q}$ et $\bm{\mathbb R\setminus \mathbb Q}$ dans $\bm{\mathbb R}$:} Tout réel peut être approché par une suite d'irrationnels et une suite de rationnels.

\begin{proof}
    On a, pour $n\in \mathbb N^*$, \begin{align*}
        \lfloor 10^nx \rfloor \leq 10^nx <\lfloor 10^nx\rfloor + 1 \iff & 10^nx-1<\lfloor 10^n x\rfloor \leq 10^n x \\
        \iff & \frac{10^nx-1}{10^n}<\frac{\lfloor 10^nx\rfloor}{10^n}\leq x \\
        \implies & \frac{\lfloor 10^nx\rfloor}{10^n} \underset{n\to+\infty}\longrightarrow x \qquad \text{(théorème d'encadrement)}
    \end{align*}
    Et on a bien $\forall n \in \mathbb N, \frac{\lfloor 10^nx\rfloor}{10^n}\in \mathbb Q$. 
    On admet $\sqrt 2\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$. On a \[
        \frac{\lfloor 10^nx\rfloor - \sqrt 2}{10^n}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} x
    \]
    et \[
        \forall n\in \mathbb N, \frac{\lfloor 10^nx\rfloor - \sqrt 2}{10^n}\in \mathbb Q\iff \exists (p,q)\in \mathbb Z\times \mathbb N^*, \sqrt 2 = -10^n\frac pq + \lfloor 10^nx\rfloor \in\mathbb Q
    \]
    Or $\sqrt 2$ est irrationnel donc $\forall n\in \mathbb N, \frac{\lfloor 10^nx\rfloor - \sqrt 2}{10^n}\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$.
\end{proof}

\newpage

\noindent \textbf{Existence et unicité de la solution impaire de $\bm{y'+2xy=1}$} 

\begin{proof}
    Si $y$ est impaire, alors $y(0)=0$. L'équation est linéaire d'ordre $1$. Donc \[
        \begin{cases}
            y'+2xy=1\\ 
            y(0)=0
        \end{cases}
    \] est un problème de Cauchy. On a donc l'existence et l'unicité d'une solution $y_0$ telle que $y_0(0)=0$.
    On vérifie maintenant que $y_0$ est impaire. On considère $z:x\mapsto -y_0(-x)$. On a $z'(x)=y_0(-x)$. On a donc \[
        \forall x\in \mathbb R, z'(x)+2xz(x)=1\iff y_0(-x)+2(-x)y_0(-x)=1 \iff y_0(x)+2xy_0(x)=1
    \]
    Donc $z$ est solution du même problème de Cauchy, et par unicité de la solution, on a $z=y_0$, donc $y_0$ est impaire.
\end{proof}

\end{document}
