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\pagenumbering{gobble}

\begin{document}

\noindent \textbf{Exercice.} Déterminer \[
    \inf_{(a, b)\in \mathbb R^2}\int_0^1(x^2-ax-b)^2\mathrm dx
\]

\noindent \textbf{Résolution.} On pose $E=\mathbb R[X]$ et \[
    \forall (P, Q)\in E^2, \varphi(P, Q)=\int_0^1P(t)Q(t)\mathrm dt
\]
L'application $\varphi$ définit un produit scalaire sur $E$ \begin{itemize}
    \item \emph{(Symétrie)} On a $\varphi(P, Q)=\varphi(Q, P)$ directement par commutativité du produit.
    \item \emph{(Bilinéarité)} On a la bilinéarité par la linéarité de l'intégrale.
    \item \emph{(Positivité)} \[ \varphi(P, P)=\int_0^1 P^2(t)\mathrm dt\]
    \item \emph{(Définie)} \[ \varphi(P, P)=\int_0^1 P^2(t)\mathrm dt=0\iff P^2=0 \iff P = 0\]
\end{itemize}
On a, par Schmidt \[
    \mathbb R_1[X]=\Vect(1, X)=\Vect\left(1, \frac{X-\varphi(X, 1)}{||X-\varphi(X, 1)||}\right)=\Vect\left(1, \sqrt{12}\left(X-\frac12\right)\right)
\]
Avec $\left(1, \sqrt{12}\left(X-\frac12\right)\right)$ base orthonormée de $\mathbb R_1[X]$. On a de plus \[
    m = \inf_{(a, b)\in \mathbb R^2}\int_0^1(x^2-ax-b)^2\mathrm dx=\inf_{P\in \mathbb R_1[X]}\int_0^1(x^2-P(x))^2\mathrm dx=\inf_{P\in \mathbb R_1[X]}||X^2-P||^2=||X^2-p(X^2)||^2
\]
Avec $p$ projecteur orthogonal sur $\mathbb R_1[X]$. On a \begin{align*}
    p(X^2)&=\varphi(X^2, 1) + \varphi\left(X^2, \sqrt{12}\left(X-\frac12\right)\right)\sqrt{12}\left(X-\frac12\right)\\&=\frac13 + (12X - 6)\int_0^1 \left(x^3-\frac{x^2}2\right)\mathrm dx\\ &=X-\frac16
\end{align*}
Donc \[
    m=||X^2-X+\frac16||^2=\int_0^1\left(x^2-x+\frac16\right)^2\mathrm dx=\frac1{180}
\]\\[1ex]

\noindent \textbf{Exercice.} Déterminer l'orthogonale des matrices diagonales de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.\\[2ex]

\noindent \textbf{Résolution.} On note $D_n(\mathbb R)=\Vect((E_{i, i})_{1\leq i\leq n})$ le sev des matrices diagonales. On a \begin{align*}
    A=(a_{i, j})\in D_n(\mathbb R)^{\perp}
    &\iff \forall i\in \llbracket 1, n \rrbracket, \langle A, E_{i, i}\rangle= 0\\
    &\iff \forall i\in \llbracket 1, n \rrbracket, \Tr(AE_{i, i})=\sum_{k=1}^n(AE_{i, i})_{k, k}=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n a_{k,l}\delta_{k, i}\delta_{l, i}=0\\
    &\iff \forall i\in \llbracket 1, n \rrbracket, a_{i, i}=0
\end{align*}
Donc $D_n(\mathbb R)^\perp$ est le sev des matrices dont la diagonale est nulle.\\[2ex]

\noindent \textbf{Exercice.} $E=\mathbb R_2[X]$ munit du produit scalaire \[
    \langle P, Q \rangle = \sum_{k=-1}^1 P(k)Q(k)
\]
Donner une base orthonormale de $E$.\\[2ex]

\noindent \textbf{Résolution.} On orthomalise la base canonique $(1, X, X^2)$ avec Schmidt. On notera $(e_1, e_2, e_3)$ la nouvelle base. On a \begin{itemize}
    \item $||1||^2=3$ donc \[
            e_1=\frac1{||1||} =\frac1{\sqrt3}
        \]
    \item $\langle 1, X\rangle = 0$ et $||X||^2=2$ donc\[
            e_2=\frac{X-\frac1{\sqrt3}\langle 1/\sqrt3, X\rangle}{||X-\frac1{\sqrt3}\langle 1/\sqrt3, X\rangle||}=\frac X{||X||}=\frac1{\sqrt2}X
        \] 
    \item $\langle X^2, 1\rangle = 2$, $\langle X^2, X\rangle = 0$ et $||X^2-\frac23||^2=\frac23$ donc \[
            e_3=\frac{X^2-\frac13\langle X^2, 1\rangle - \frac1{\sqrt 6}\langle X^2, X\rangle}{||X^2-\frac13\langle X^2, 1\rangle - \frac1{\sqrt 6}\langle X^2, X\rangle||}=\frac{\sqrt3X^2-2\sqrt3}{\sqrt2}
        \]
\end{itemize}

\end{document}
