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\pagenumbering{gobble}

\begin{document}

\noindent \textbf{Exercice.} Convergence de $\displaystyle\sum\ln(1-\frac1{k^2})$ et valeur de la somme de $\displaystyle\sum_{k=2}^n\ln(1-\frac1{k^2})$\\[1ex]

\noindent \textbf{Résolution.} \begin{align*}
    \sum_{k=2}^n\ln\left(1-\frac1{k^2}\right)&=\sum_{k=2}^n \ln(k+1)+\ln(k-1)-2\ln(k)\\
                                             &=\sum_{k=2}^n\ln(k+1)-\ln(k)-(\ln(k)-\ln(k-1))\\
                                             &=\ln(n+1)-\ln(n)-\ln2\underset{n\to +\infty}\longrightarrow -\ln 2
\end{align*}
Donc la série converge et la somme vaut $-\ln 2$\\[1ex]

\noindent \textbf{Exercice.} On pose \[\forall n\geq 1, a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k - \ln n\] Montrer que $\sum(a_{n+1}-a_n)$ converge absolument. En déduire qu'il existe $\gamma$ tel que \[
    H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k = \ln n+\gamma + o(1)
\]

\noindent \textbf{Résolution.} On a, pour $n\in\mathbb N^\star$, \begin{align*} 
    a_{n+1}-a_n&=\frac1{n+1}-\ln(n+1)+\ln(n)\\
               &=\frac1{n+1}+\ln\left(1-\frac1{n+1}\right)\\
               &=\frac1{n+1}-\frac1{n+1}-\frac1{2(n+1)^2}+o\left(\frac1{(n+1)^2}\right)\\
               |a_{n+1}-a_n|&\leq \frac1{2(n+1)^2}+\left|o\left(\frac1{(n+1)^2}\right)\right|
\end{align*}
Donc $\sum(a_{n+1}-a_n)$ converge absolument par règle de comparaison. La série est téléscopique donc $(a_n)$ converge et il existe $\gamma$ tq \[
    a_n=\gamma + o(1)
\]
D'où le résultat.\\[1ex]

\noindent \textbf{Exercice.} On pose $u_0\geq 0$ et $\forall n\in \mathbb N^\star, u_{n+1}=\frac{e^{-u_n}}{n+1}$. Préciser la limite de $u_n$ et $nu_n$. Nature de $\sum u_n$ et de $\sum (-1)^nu_n$\\[1ex]

\noindent \textbf{Résolution.} On a, par récurrence immédiate, $(u_n)$ positive. De plus, $\forall n\geq 0, u_n\leq \frac1n\longrightarrow 0$ donc $u_n\longrightarrow 0$.

$(n+1)u_{n+1}=e^{-u_n}\longrightarrow 1$ car $u_n\longrightarrow 0$. La règle d'équivalence (termes positifs) donne la divergence de $\sum u_n$.

\begin{align*}
    (-1)^nu_{n+1}=\frac{(-1)^ne^{-u_n}}{n+1}&=\frac{(-1)^n}{n+1}\left(1-u_n+o(u_n)\right) \\ &= \underbrace{\frac{(-1)^n}{n+1}}_{CV}+\underbrace{\frac{-(-1)^nu_n}{n+1}}_{\text{CA}\implies \text{CV}}+\underbrace{o\left(\frac{u_n}{n+1}\right)}_{\text{CA par équivalent}}
\end{align*}

\end{document}
