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\pagenumbering{gobble}

\begin{document}

\noindent \textbf{Exercice:} Donner un équivalent de \[
    \sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}
\]

\noindent \textbf{Résolution.} On pose $f:t\longmapsto \dfrac1{\sqrt t}$. $f$ est décroissante donc \[
    \forall k\geq 1,\frac1{\sqrt{k+1}}=\quad \int_k^{k+1}\frac1{\sqrt {k+1}}\;\mathrm dt\leq \int_k^{k+1}\frac1{\sqrt t}\;\mathrm dt\leq \int_k^{k+1}\frac1{\sqrt k}\;\mathrm dt = \frac1{\sqrt k}
\]
Donc on a \[
    \forall k\geq 1, \quad \int_k^{k+1}\frac1{\sqrt t}\;\mathrm dt \leq \frac1{\sqrt k}\implies \forall n\geq 1,\quad \int_1^n\frac1{\sqrt t}\;\mathrm dt=2\sqrt n-2\leq \sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt n}
\]
Et aussi \[
    \forall n\geq 1, \quad \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sqrt{k+1}}=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}-1\leq \int_1^{n-1} \frac1{\sqrt {t}}\;\mathrm dt=2\sqrt{n-1}-2 \implies \sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\leq 2\sqrt{n-1}-1
\]
D'où, au final, \[
    2\sqrt n - 2 \leq \sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\leq 2\sqrt{n-1}-1 \implies 1-\frac1{\sqrt n}\leq \frac1{2\sqrt n}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\leq \frac{2\sqrt{n-1}}{2\sqrt n}-\frac1{2\sqrt n}\underset{n\to +\infty}\longrightarrow 1
\]
Donc, par théorème d'encadrement \[
    \frac1{2\sqrt n}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow 1\implies \sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\underset{+\infty}\sim 2\sqrt n
\]

\noindent \textbf{Propriété:} Si $\sum a_n$ converge absolument, alors $\sum a_n$ converge.\\[1ex]

\noindent \textbf{Démonstration.} On traite d'abord le cas réel. On note \[
    \forall n\in \mathbb N, \begin{cases}
        a_n^+=\max\{0, a_n\}\\
        a_n^-=\max\{0, -a_n\}
    \end{cases}
\]
On a alors $a_n=a_n^+-a_n^-$, et $|a_n|=a_n^++a_n^-$. Les séries $\sum a_n^+$ et $\sum a_n^-$ sont à termes positifs donc les sommes partielles sont croissantes, et elles tendent vers une limite réelle ou vers $+\infty$. On a \[
    \sum_{k=0}^n|a_n|=\sum_{k=0}^na_n^++\sum_{k=0}^na_n^-
\]
Donc les deux séries convergent (si l'une des deux diverge ou si les deux divergent, alors $\sum |a_n|$ diverge). Par linéarité, on a $\sum a_n$ convergente.

Dans le cas complexe, on a \[
    \sum_{k=0}^n|a_n|=\sum_{k=0}^n\sqrt{\Re(a_n)^2+\Im(a_n)^2}\geq \sum_{k=0}^n\sqrt{\Re(a_n)^2}
=\sum_{k=0}^n|\Re(a_n)|\]
Donc $\sum|\Re(a_n)|$ converge, et de même $\sum |\Im(a_n)|$ converge. On se ramène alors au cas réel.\\[1ex]

\noindent \textbf{Propriété} \emph{(critère spécial des séries alternées)}\textbf{:}
\begin{itemize}
    \item Si $\sum u_n$ est une série alternée, si $u_n\underset{n\to +\infty}\longrightarrow 0$ et $(|u_n|)_{n\geq 0}$ est décroissante, alors $\sum u_n$ converge.
    \item Dans ce cas, si $\sum_{n=0}^{+\infty}\limits u_n=S_n+R_n$, alors $|R_n|\leq |u_{n+1}|$ et $R_n$ est du signe de $u_{n+1}$.
\end{itemize}

\noindent \textbf{Démonstration.} On suppose $u_0\geq 0$, et on pose \[
        \forall n\in \mathbb N, S_n=\sum_{k=0}^n u_n
\]
On a alors $(S_{2n})_n$ positive et $(S_{2n+1})_n$ est négative. On montre que ces deux suites sont adjacentes. On a \[
    \forall n\geq 1, \quad S_{2n+2}-S_{2n}\geq 0 \quad\text{ par décroissance de } (|u_n|)_n
\]
et \[
    \forall n\geq 1, \quad S_{2n+3}-S_{2n+1}\leq 0 \quad\text{ par décroissance de } (|u_n|)_n
\]
De plus, \[
    S_{2n+1}-S_{2n}=u_{2n+1}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow 0
\]
Les suites sont donc adjacentes et admettent une limite commune $\ell$. On a donc \[
    \sum_{n=0}^{+\infty}u_n =\ell
\]
On a alors l'inégalité \[
    \forall n\in \mathbb N, S_{2n+1}\leq S=\sum^{+\infty}_{n=0} u_n\leq S_{2n}
\]
D'où $|R_n|=|S-S_{2n}|=S_{2n}-S\leq S_{2n}-S_{2n+1}=-u_{2n+1}=|u_{2n+1}|$. De plus, on a $R_{2n}=S-S_{2n}\leq 0$ et $u_{2n+1}\leq 0$ donc $R_{2n}$ est du signe de $u_{2n+1}$. On fait le même raisonnement pour $R_{2n+1}$.\\[1ex]

\noindent \textbf{Propriété} \emph{(règle d'équivalence)}\textbf{:} $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ des suites positives équivalentes. Alors $\sum u_n$ est de même nature que $\sum v_n$.\\[1ex]

\noindent \textbf{Démonstration.} 
\end{document}
