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\pagenumbering{gobble}

\begin{document}

\noindent \textbf{Propriété:} Si $u\in L(E, F)$ avec $\rg (u)\geq 1$, alors il existe une base $B_E$ de $E$ et une base $B_F$ de $F$ telles que $\Mat_{B_E, B_F}(u)=\mathrm J_r$\\[1ex]

\noindent \textbf{Démonstration.} 
On pose $\rg(u)=r\geq 1$, $\dim(E)=p$ et $\dim(F)=n$. On a, par théorème du rang, $\dim(\Ker(u))=p-r$.

On pose $B=(e_{r+1}, \dots, e_p)$ base de $\Ker(u)$ que l'on complète en $B_E=(e_1, \dots, e_p)$ base de $E$.

On a $\rg(u)=r$. On pose $(u(e_1), \dots, u(e_r))$ base de $\Im(u)$, que l'on complète en $B_F=(u(e_1), \dots, u(e_r), f_{r+1}, \dots, f_n)$. On a alors \[
    \Mat_{B_E, B_F}(u)=\mathrm J_R
\]
\\[1ex]

\noindent \textbf{Exercice.} Trouver les $A\in M_n(\mathbb K) \big /\; \forall B\in M_n(\mathbb K), AB=BA$\\[1ex]

\noindent \textbf{Résolution.} On pose $A=(a_{i, j})$ solution. $A$ commute avec tous les $B$, donc $A$ commute avec tous les $E_{i, j}$. Alors, \[
    (AE_{i, j})_{m, l}=\sum_{k=1}^n a_{m,k}(E_{i, j})_{k, l}=\sum_{k=1}^n a_{m,k}\delta_{i, k}\delta_{j,l}=a_{m,i}\delta_{j,l}
\]
et  \[
    (E_{i, j}A)_{m, l}=\sum_{k=1}^n \delta_{m,i}\delta_{k,j}a_{k, l}=a_{j, l}\delta_{m, i}
\]
d'où \[
    \forall (i, j, k, l)\in\llbracket 1, n\rrbracket^4, a_{m, i}\delta_{j, l}=a_{j, l}\delta_{m, i} \implies \forall (i, j)\in \llbracket 1, n\rrbracket, a_{i,i}=a_{j, j} \text { et } i\neq j\implies a_{i, j}=0
\]
On a donc $A=\lambda I_n$, $\lambda\in \mathbb K$
\\[1ex]

\noindent \textbf{Exercice.} \emph{(Théorème d'Hadamard)} Si $A=(a_{i, j})\in M_n(\mathbb C)$ telle que \[
    \forall i\in \llbracket1, n\rrbracket, |a_{i, i}|>\sum_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n |a_{i,j}|
\] alors $A$ est inversible.\\[1ex]

\noindent \textbf{Résolution.} On procède par l'absurde et on suppose \[
    \exists X=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\in\Ker(A), X\neq 0
\]
On a alors $\exists m\in\llbracket 1, n\rrbracket , x_m = \max \{|x_i|, i\in \llbracket1, n\rrbracket\}\neq 0$. On a \[
    AX=0\implies \sum_{j=1}^n a_{m, j}x_{j}=0 \implies |a_{m, m}||x_{m}|\leq \sum_{\substack{j=1\\j\neq m}}^n|a_{m, j}||x_j|\leq |x_m|\sum_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n|a_{m, j}|\implies |a_{m, m}|\leq \sum_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n|a_{m, j}|
\]
D'où une contradiction et $\Ker(A)=\{0\}$. On a $n=\rg (A)-\dim(\Ker(A))=\rg(A)$ donc $A\in \mathrm{GL}_n(\mathbb C)$\\[1ex]

\noindent \textbf{Propriété:} Si $H$ est un hyperplan de $E$, alors pour toute droite $D$ non contenue dans $H$, on a $E=H\oplus D$.\\[1ex]

\noindent \textbf{Démonstration.} Il existe $\varphi$ forme linéaire de $E^\star$ non nulle telle que $H=\Ker(\varphi)$. On pose $D=\Vect(e_1)$. On a \[
    \forall x\in E, x=\underbrace{x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(e_1)}e_1}_{\in H}+\underbrace{\frac{\varphi(x)}{\varphi(e_1)}e_1}_{\in D}\implies E=H+D
\]
On a également $H\cap D=\{0\}$ (en effet, si $x\in H\cap D$, $x=\lambda e_1$ donc $0=\varphi(x)=\lambda \varphi(e_1)$ or $\varphi(e_1)\neq 0$ donc $\lambda=0$ et $x=0$)\\[1ex]

\noindent \textbf{Propriété:} $\phi$ et $\psi$ formes linéaires non nulles de $E$, alors \[
    \Ker(\phi)=\Ker(\psi)\iff \exists \lambda\in K, \lambda\neq 0 \;\big/\; \phi= \lambda \psi
\]

\noindent \textbf{Démonstration.} \begin{itemize}
    \item $\Longleftarrow)$ Direct.
    \item $\Longrightarrow)$ $H=\Ker(\phi)$ hyperplan car $\phi\in E$, $\phi\neq 0$ et $\exists a\in E, \phi(a)\neq 0$. On a $E=H\oplus \Vect(a)$.

        On pose $\lambda=\dfrac{\psi(a)}{\phi(a)}, a\not\in H=\Ker(\phi)=\Ker(\psi)\implies \lambda\neq 0$. Alors \[ 
            \forall x\in H, \psi(x)=0=\lambda(x)
        \]
        et \[
            \forall x\in D=\Vect(a), \psi(a)=\lambda\phi(a)
            \]
\end{itemize}
\end{document}
