\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper, margin=2cm]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{bm}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{color}
\usepackage[hidelinks]{hyperref}

\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\Isom}{\mathrm{Isom}}

\pagenumbering{gobble}

\begin{document}

\noindent \textbf{Propriété:} Si $f\in L(E, F)$ et si $S$ est un supplémentaire de $\Ker(f)$ dans $E$ alors $f$ induit un isomorphisme de $S$ sur $\Im(f)$\\[1ex]

\noindent \textbf{Démonstration.}
On note $\displaystyle f_1=\left.f\right|_S$. Soit $x\in\Ker(f_1)\subset\Ker(f)$. On a $x\in S$ or $S\cap \Ker(f)=\{0\}$ donc $x=0$, et $f_1$ est injective.

On suppose $y\in \Im(f)$, donc $y=f(x_0)$. On sait $\exists !(x_1, x_2)\in S\times \Ker(f), x_0=x_1+ x_2$, donc $y=f(x_0)=f(x_1)=f_1(x_1)$ car $x_1\in S$, donc $y\in \Im(f_1)$, et $f_1$ est surjective.\\[1ex]

\noindent \textbf{Théorème du rang:} $E$ et $F$ $\mathbb K-$ev de dimension finie. Si $f\in L(E, F)$, alors \[
    \dim(E)=\rg(f)+\dim(\Ker(f))
\]

\noindent \textbf{Démonstration.} 

$\Ker(f)$ est de dimension finie, donc accepte un supplémentaire $S$ dans $E$. On a \[
    \dim(E)=\dim(S)+\dim(\Ker(f))
\]
$f$ induit un isomorphisme $f'$ de $S$ sur $\Im(f)$, donc $\dim(S)=\dim(\Im(f))=\rg(f)$, d'où la formule.\\[1ex]

\noindent \textbf{Propriété:} $E, F, G, H$ des $\mathbb K-$ev de dimension finie, $f\in L(E, F)$, $g\in \Isom(F, G)$, $h\in \Isom(H, E)$. Alors \[
    \rg(f)=\rg(f\circ h)=\rg(g\circ f)
\]

\noindent \textbf{Démonstration.} On montre $\rg(f)=\rg(f\circ h)$. \[
    \rg(f\circ h)=\dim((f\circ h)(H))=\dim(f(E))=\rg(f)
\]
On montre maintenant $\rg(g\circ f)=\rg(f)$. On a \[
    \rg(g\circ f)=\rg\left(\left.g\right|_{\Im(f)}\right)
\]
Or $\Im(f)$ est de dimension finie, donc par théorème du rang \[ \dim(\Im(f))=\rg(f)=\rg\left(\left.g\right|_{\Im(f)}\right) + \dim\left(\Ker\left(\left.g\right|_{\Im(f)}\right)\right) \]
Si $x\in \Ker\left(\left.g\right|_{\Im(f)}\right)$, alors $g(x)=0\iff x=0$ car $g$ isomorphisme. Donc on a bien \[
    \rg(f)=\rg\left(\left.g\right|_{\Im(f)}\right)=\rg(g\circ f)
\]

\noindent \textbf{Propriété:} $E$ un $\mathbb K-$ev de dimension finie $n$, et $f\in L(E)$, alors \[
    E=\Im(f)+\Ker(f)\iff \Im(f)=\Im(f^2)\iff \Ker(f)=\Ker(f^2)\iff E=\Im(f)\oplus \Ker(f)
\]

\noindent \textbf{Démonstration.} 

\begin{itemize}
    \item \emph{(1$\implies$2)} On a une inclusion directe ($\Im(f^2)\subset \Im(f)$). Soit $y\in \Im(f)$, soit $y=f(x_0)$. $\exists (x_1, x_2)\in\Im(f)\times \Ker(f), x_0=x_1+x_2=f(x_1')+x_2$ donc $y=f(x_0)=f^2(x_1')$ donc $y\in \Im(f^2)$, d'où l'égalité
    \item \emph{(2$\implies$3)} On a une inclusion directe ($\Ker(f)\subset Ker(f^2)$), puis par théorème du rang, et en utilisant $\rg(f)=\rg(f^2)$ \[
            \dim (E)=\rg(f)+\dim(\Ker(f))=\rg(f^2)+\dim(\Ker(f^2))\implies \dim(\Ker(f))=\dim(\Ker(f^2))
        \]
        On a donc égalité entre les deux ensembles.
    \item \emph{(3$\implies$4)} On a $n=\rg(f)+\dim(\Ker(f))$ et $\Ker(f)\cap \Im(f)=\{0\}$ (si $y$ est dans l'ensemble, $f^2(x_0)=f(y)=0$ donc $x_0\in \Ker(f)$ et $y=0$), d'où le résultat
    \item On a bien \emph{(4$\implies$1)} 
\end{itemize}\\[1ex]

\noindent \textbf{Exercice:} Calculer $A^n$ pour $n\in \mathbb N$, avec $\displaystyle A= \begin{pmatrix}
    3 &1& 1 \\ 1 &3 &1 \\ 1 &1 &3
\end{pmatrix} $

\noindent \textbf{Résolution.} 

On a \[
    A=2I_3+ \begin{pmatrix}
        1&1&1 \\
        1&1&1 \\
        1&1&1
    \end{pmatrix}
\]
Or $2I_3$ commute avec toutes les matrices. On a \[
    K=\begin{pmatrix}
        1&1&1 \\
        1&1&1 \\
        1&1&1
    \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
        3&3&3 \\
        3&3&3 \\
        3&3&3
    \end{pmatrix}=3K
    \implies \forall n\geq 1, K^n=3^{n-1}K \]

On a  \[
    A^n=\sum_{k=0}^n\binom nk 2^{n-k}K^k=2^nI_3+\frac K3\sum_{k=1}^n\binom nk 3^k2^{n-k}=2^nI_3+\frac13K(5^n-2^n)
\]

\end{document}
