\documentclass{article}

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\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}}
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\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}

\pagenumbering{gobble}

\begin{document}

\noindent \textbf{Propriété:} $f\in L(E,F)$ et $(x_i)_{i\in I}$ famille génératrice de $E$. On a \[
    \Im(f)=\Vect((f(x_i))_{i\in I})
\] et, si $f$ est injective et $(x_i)_{i\in I}$ est libre, alors $(f(x_i))_{i\in I}$ est libre\\[1ex]

\noindent \textbf{Démonstration.}

Soit $f\in L(E,F)$, $(x_i)_{i\in I}$ famille génératrice de $E$, et $y\in \Im(f)$. On a $y=f(x_0)$ avec \[
    x_0=\sum_{i\in I}\alpha_i x_i \implies y=\sum_{i\in I}\alpha_i f(x_i)
\] donc on a bien \[
    \Im(f)=\Vect((f(x_i))_{i\in I})
\]

On considère maintenant $f$ injective et $(x_i)_{i\in I}$ une famille libre. On a \[
    \sum_{i\in I}\alpha_if(x_i)=0\implies f\left(\sum_{i\in I}\alpha_i x_i\right)=0\implies \sum_{i\in I}\alpha_i x_i=0\implies \forall i\in I, \alpha_i=0
\]

\noindent \textbf{Propriété:} $E$ un $\mathbb K$-ev de dimension finie, et $F$ sev de $E$. Il existe $G$ sev de $E$ tel que \[
    E=F\oplus G
\]

\noindent \textbf{Démonstration.}

Si $F=\{0\}$, $E=F\oplus E$, et si $F=E$, $E=F\oplus \{0\}$. On considère donc $F\neq \{0\}$ et $F\neq E$. On munit $F$ de la base $(e_1, \dots, e_p)$. C'est une famille libre de $E$, qu'on peut compléter en une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$. On pose $G=\Vect(e_{p+1},\dots,e_n)$ et $E=F\oplus G$\\[1ex]

\noindent \textbf{Propriété:} $E$ un $\mathbb K$-ev de dimension finie, $F$ et $G$ sev de $E$. Alors \[
    E=F\oplus G\iff F\cap G=\{0\} \text{ et } \dim(E)=\dim(F)+\dim(G)
\]

\noindent \textbf{Démonstration.}

$\Longrightarrow)$ Si $F=\{0\}$ ou $G=\{0\}$, alors on a directement le résultat. On suppose les deux différents de $\{0\}$. On munit $F$ de la base $(e_1, \dots, e_p)$, et $G$ de la base $(e_{p+1}, \dots, e_n)$.
On a $E=F\oplus G$ donc $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$. On a $\dim (E)=n=p+n-p=\dim (F)+\dim (G)$

$\Longleftarrow)$ On pose $H=F+G$. On a $H=F\oplus G$ car $F\cap G=\{0\}$. On a de plus $\dim (H)=\dim (F)+\dim (G)=\dim(E)$, or $H$ est un sev de $E$, d'où $H=E$.\\[1ex]

\noindent \textbf{Propriété \emph{(formule de Grassman)}:} $E$ un $\mathbb K$-ev, $F$ et $G$ sev de $E$ de dimensions finies. Alors \[
    \dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)
\]

\noindent \textbf{Démonstration.}

$F\cap G$ est de dimension finie (c'est un sev de $F$), et $F+G$ aussi. $F\cap G$ est un sev de $F$, donc admet un complémentaire $H$ tel que $F=F\cap G\oplus H$.

On veut montrer $F+G=G\oplus H$. On a, pour $x\in G\cap H$, $x\in H\subset F$ donc $x\in F\cap G$, soit $x=0$ (car $F\cap G\cap H=\{0\}$).

On a $H\subset F$ donc $G+H\subset F+G$. Si $x\in F+G$, alors \[ \exists x_1\in F\cap G, \exists x_2 \in G, x=x_1+x_2\] et \[F=F\cap G\oplus H \implies \exists x_3\in F\cap G, \exists x_4 \in H, x_1 = x_3+x_4\]
soit \[
    x=\underbrace{x_2+x_3}_{\in G}+\underbrace{x_4}_{\in H}
\]
Donc on a $F+G\subset G\oplus H$, soit $F+G=G\oplus H$. On en déduit \[
    \dim(F+G)=\dim(G)+\dim(H)
\]
or on a \[
    \dim(F)=\dim(F\cap G)+\dim(H)\iff \dim(H)=\dim(F)-\dim(F\cap G)
\]
et donc \[
    \dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)
\]

\noindent \textbf{Exercice.} $(x_0, \dots, x_n)\in \mathbb R^{n+1}$ deux à deux distincts. Montrer que la famille des polynomes de Lagrange associée est une base de $\mathbb R_n[X]$\\[1ex]

\noindent \textbf{Résolution.}

Soit $P\in \mathbb R_n[X]$. On note $\forall i\in[\![0, n]\!], y_i=f(x_i)$. On sait qu'il existe un unique polynome interpolateur $Q$ de degré $\mathrm d^\circ Q\leq n$ tel que $\forall i\in [\![0, n]\!], f(x_i)=y_i$ On a alors $Q=P$ (puisque $P$ est interpolateur également). Ce polynome s'écrit \[
    Q=\sum_{k=0}^n y_kL_k
\] où $(L_k)_{0\leq k\leq n}$ est la famille des polynomes de lagrange associée à $(x_0, \dots, x_n)$. On a donc $\mathbb R_n[X]=\Vect(L_0,\dots, L_n)$, et $\dim(\mathbb R_n[X])=n+1$ donc la famille est une base.

\end{document}
