\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper, margin=2cm]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{bm}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{color}
\usepackage[hidelinks]{hyperref}

\title{}
\author{}
% \date{}

\pagenumbering{gobble}

\begin{document}

\noindent \textbf{Propriété:}  L'ensemble des applications paires et l'ensemble des applications impaires de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ sont deux sev supplémentaires de l'ev des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$\\[1ex]

\noindent \textbf{Démonstration.} 

On pose $P$ l'ensemble des applications paires de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. $P\subset E$ et $\forall \alpha\in\mathbb R, \forall (p_1, p_2)\in P^2, \alpha p_1+p_2\in P$ donc $P$ sev de $E$. Pareil pour $I$.

\emph{(Analyse)} Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. Si $f=p+i$ avec $p\in P$ et $i\in I$, alors on a \[
    \begin{cases}
        f(x)=p(x)+i(x)\\
        f(-x)=p(x)-i(x)
    \end{cases}
    \iff \begin{cases}
        p(x)=\frac12(f(x)+f(-x))\\
        i(x)=\frac12(f(x)-f(-x))
    \end{cases}
\]
D'où l'unicité s'il y a existence

\emph{(Synthèse)} On pose $p(x)=\frac12(f(x)+f(-x))$ et $i(x)=\frac12(f(x)-f(-x))$. On a bien $p$ paire et $i$ impaire, et $p+i=f$ d'où l'existence de la décomposition. \\[1ex]

\noindent \textbf{Propriété:} Si $p\in L(E)$ avec $p\circ p=p$ alors $E=\mathrm{Ker}(p)\oplus \mathrm{Im}(p)$, $\mathrm{Im}(p)=\{x\in E \;|\; p(x)=x\}$, et $p$ est la projection vectorielle sur $\mathrm {Im}(p)$ parallèlement à $\mathrm{Ker}(p)$.\\[1ex]

\noindent \textbf{Démonstration.}

\begin{enumerate}
    \item Soit $x\in E$. On a $x=p(x)+x-p(x)$, et $p(x)\in \mathrm{Im}(p)$ et $x-p(x)\in \mathrm{Ker}(p)$ (car $p(x-p(x))=p(x)-p(x)=0$).

        Soit $x\in \mathrm{Ker}(p)\cap\mathrm{Im}(p)$. Alors $p(x)=0$ et $p(x)=x$ donc $x=0$. On a donc bien $E=\mathrm{Im}(p)\oplus\mathrm{Ker}(p)$
    \item Soit $x\in\{x\in E\;|\; p(x)=x\}$. Alors $x=p(x)$ donc $x\in\mathrm{Im}(p)$.
        Soit $x\in\mathrm{Im}(p)$, alors $x=p(x_0)\implies p(x)=p(x_0)=x$ donc $x=p(x)$.
    \item Soit $x\in E$. Il existe un unique $(x_1, x_2)\in\mathrm{Im}(p)\times\mathrm{Ker}(p)$ tel que $x=x_1+x_2$. On a $p(x)=p(x_1)+p(x_2)=x_1$. Donc $p$ projecteur sur $\mathrm{Im}(p)$ parallèlement à $\mathrm{Ker}(p)$.\\[1ex]
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Propriété:} Si $s\in L(E)$, alors $s\circ s=\mathrm{Id}\iff s$ symétrie \\[1ex]

\noindent \textbf{Démonstration.} 

$\Longleftarrow$) Soit $s$ symétrie par rapport à $E_1$ de direction $E_2$. On note $x=x_1+x_2$ avec $x_1\in E_1$ et $x_2\in E_2$. On a $s\circ s(x)=s(s(x_1+x_2))=s(x_1-x_2)=x\implies s\circ s=\mathrm{Id}$

$\Longrightarrow$) On pose $p=\frac12(s+\mathrm {Id})$. $p\in L(E)$ et on a \[p\circ p=\frac14(s\circ s+2\circ s+\mathrm{Id})=p\] donc $p$ projection sur $\mathrm{Im}(p)$ parallèlement à $\mathrm{Ker}(p)$.  
On a $\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Ker}(p-\mathrm{Id})=\mathrm{Ker}(s-\mathrm{Id})$ et $\mathrm{Ker}(p)=\mathrm{Ker}(s+\mathrm{Id})$. Donc \[\forall x\in E, \exists!(x_1, x_2)\in \mathrm{Ker}(s-\mathrm{Id})\times \mathrm {Ker}(s+\mathrm{Id}), x=x_1+x_2\]
Et on a $s(x)=s(x_1)+s(x_2)=x_1-x_2$ donc $s$ est une symétrie.\\[1ex]

\noindent \textbf{Exercice:} Montrer $\mathbb{R}_2[X]=\mathrm{Vect}(1+X, X+X^2)\oplus\mathrm{Vect}(X^2)$. Soit $p$ la projection sur $\mathrm{Vect}(1+X, X+X^2)$ parallèlement à $\mathrm{Vect}(X^2)$. Donner $p(-1+3X+X^2)$\\[1ex]

\noindent \textbf{Résolution.}

Soit $P=aX^2+bX+c\in\mathbb R_2[X]$. Alors $P=c(1+X)+(b-c)(X+X^2)+(c-b+a)X^2$ d'où l'unicité et l'existence de la décomposition de $P$ donc $\mathbb{R}_2[X]=\mathrm{Vect}(1+X, X+X^2)\oplus\mathrm{Vect}(X^2)$.

On a $p(-1+3X+X^2)=p(-1(1+X)+4(X+X^2)-3X^2)=-(1+X)+4(X+X^2)$

\end{document}
