\documentclass[landscape,12pt]{exam}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper, margin=2cm, bottom=1cm]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{bbm}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{color}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\usepackage{multicol}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{ifthen} 
\titleformat{\section}[block]{\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}

\newcounter{week}[section]
\newcounter{exo}[week]
\newenvironment{exo}[1][]{\refstepcounter{exo}\par\noindent\textbf{Exercice~\theexo.} \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textit{(#1)}}\par }{}
\newenvironment{cours}{\noindent\textbf{Question de cours: }}{\vspace{1em}}

\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}

\newcommand{\week}[1]{\refstepcounter{week}\section{Semaine \theweek}\begin{center}
    \vspace{-8pt}\textit{(#1)} 
\end{center}}

\setcounter{secnumdepth}{0}


\setlength{\columnseprule}{1pt}
\def\columnseprulecolor{\color{black}}
\setlength{\columnsep}{1cm}

\pagestyle{head}
\header{$\mathbb{HX}_\mathbbm1$}{}{2018-2019}
\runningheadrule
\firstpageheadrule

\begin{document}

% Les colles ont commencé à la deuxième semaine du colloscope
\refstepcounter{week}

\week{Varjabedian}

\begin{multicols}{2}

\begin{cours}
    Calculer $C=\sum_{k=0}^n\limits\cos(a+kb)$ et $S=\sum_{k=0}^n\limits\sin(a+kb)$, avec $(a,b)\in\mathbb R$
\end{cours}

\begin{exo}
    \begin{enumerate}
        \item Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $2z^2-(\sqrt3+3i)z+i\sqrt3-1=0$.
        \item En déduire les solutions de $2z^{2n}-(\sqrt3+3i)z^n+i\sqrt3-1=0$
    \end{enumerate}
\end{exo}

\end{multicols}

\week{Drouot}

\begin{multicols}{2}

\begin{cours}
    Soient $f:E\to F, g: F\to G$. Montrer que $g\circ f$ injective (resp. surjective) entraine $f$ injective (resp. $g$ surjective).
\end{cours}

\begin{exo}
    $\displaystyle f:\;]1;+\infty[\;\to\mathbb R,x\longmapsto \sqrt{\ln x}$ est-elle injective~? surjective~?
\end{exo}


\begin{exo} Étudier $\displaystyle x\mapsto\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$
\end{exo}

\begin{exo}
    Soient $f: E\to F, g: F\to G, h: F\to E$. Montrer que parmis $h\circ g\circ f$, $g\circ f\circ h$ et $f\circ h\circ g$, si deux sont injectives et l'autre surjective, alors $f, g$, et $h$ sont bijectives.
\end{exo}

\columnbreak

\begin{exo}[Théorème de Cantor, exercice supplémentaire]
    Soit $E$ un ensemble (non nécessairement fini). On veut montrer que $\#\mathcal P(E)>\#E$.

    \begin{enumerate}
        \item Donner une injection de $E$ dans $\mathcal P(E)$.
        \item Montrer qu'il n'existe pas de bijection de $E$ dans $\mathcal P(E)$. On pourra considérer l'ensemble $A=\{x\in E\;\big|\;x\not\in f(x)\}$
    \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Exercice supplémentaire]
    Montrer que \[
        \begin{matrix}
            \mathbb N^2 & \longrightarrow & \mathbb N \\
            (x, y) & \longmapsto & y+\dfrac{(x+y)(x+y+1)}{2}
        \end{matrix}
    \] est une bijection.
\end{exo}

\end{multicols}

\newpage

\week{Huvent}

\begin{multicols}{2}
\begin{cours}
    Soit $f:E\to F$. Montrer que \[
        f \;\mathrm{ injective } \iff \forall (A, A')\in \mathcal P(E)^2, f(A\cap A')=f(A)\cap f(A')
    \]
\end{cours}

\begin{exo}
    Montrer que $\mathrm{arctan}(2\sqrt2)+2\mathrm{arctan}(\sqrt2)=\pi$
\end{exo}


\begin{exo}
    On se propose de trouver les réels $x$ tels que : \[
        2\arctan\left(\sqrt{\frac{1-x}x}\right)+\arcsin(2x-1)=\frac\pi2
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=2\arctan\left(\sqrt{\frac{1-x}x}\right)+\mathrm{arcsin}(2x-1)$
        \item Soit $x\in D_f$, on pose $\theta=\arcsin(\sqrt x)$. Justifier que $\theta$ est bien défini et préciser à quel intervalle il appartient, exprimer $x$ en fonction d'une des lignes trigonométriques\footnote{$\sin$, $\cos$, ou $\tan$} de $\theta$.
        \item Exprimer $\sqrt{\dfrac{1-x}x}$ et $2x-1$ en fonction de $\theta$ et conclure.
    \end{enumerate}
\end{exo}

\end{multicols}

\week{Vallaeys}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Soit $f\in\mathcal C^0(\mathbb R_+, \mathbb R_+)$ telle que \[
            \exists k>0, \forall x\geq 0, f(x)\leq k\int_0^xf(t)\;\mathrm dt
        \] Montrer que $f$ est l'application nulle.
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Soit $(n,p)\in \mathbb N^2$. Calculer $\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos(nt)\cos(pt)\;\mathrm dt$ de trois manières différentes.
    \end{exo}
    \columnbreak
    \begin{exo}
        Soit $f\in\mathcal C([a, b])$. On suppose \[
            \forall k\in \llbracket 0, n \rrbracket,\;\int_a^bt^kf(t)\;\mathrm dt=0
        \]
        Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois sur $[a, b]$.
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage

\week{Bailleul}

\begin{multicols}{2}
    \begin{exo}
        Soit $\omega\in\mathbb R$. Résoudre $y''+\omega^2y=1$.
    \end{exo}
    \begin{exo}
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que pour tout $x\in \mathbb R$ et pour tout $n\in\mathbb N$, \[e^x=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\frac1{n!}\int_0^x(x-t)^ne^t\;\mathrm dt\]
            \item \textit{(Question supplémentaire)} Montrer \[
                \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{n!}=e^x
            \]
        \end{enumerate}
    \end{exo}
    \begin{exo}
        Résoudre \[
            \mathrm{ch}(t)y'-\mathrm{sh}(t)y=\mathrm{sh}^3(t)
        \]
    \end{exo}
\end{multicols}

\week{Dormart}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Montrer que $\sqrt 2\in\mathbb R\setminus \mathbb Q$
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Résoudre l'équation différentielle \[
            x^2y''-xy'+y=1
        \]
        en utilisant $y(x)=xz(x)$
    \end{exo}

    \begin{exo}
        On veut montrer l'identité d'Hermite: \[
            \sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac kn\right\rfloor=\lfloor nx\rfloor
        \]
        \columnbreak

        On pose pour ça \[
            f_n:x\mapsto\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac kn\right\rfloor-\lfloor nx\rfloor
        \]
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que $f_n$ est $\frac 1n$-périodique.
            \item Calculer $f_n(x)$ pour $x\in \left[0, \frac1n\right[$
            \item Conclure.
        \end{enumerate}
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Soient $(x, y)\in \mathbb R^2$. Montrer \[
            \frac{|x+y|}{1+|x+y|}\leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}
        \]
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage

\week{Samain}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes de limites respectives $\ell_1$ et $\ell_2$. Montrer \[
            u_nv_n\longrightarrow \ell_1\ell_2
        \]
    \end{cours}
    \begin{exo}
        Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par \[
            \forall n\in \mathbb N, \begin{cases}
                \displaystyle u_n=\sum_{k=0}^n\frac1{k!} \\
                \displaystyle v_n=u_n+\frac1{n\cdot n!}
            \end{cases}
        \]
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite. On admettra que cette limite est $e$.
            \item Montrer que $e$ n'est pas rationnel.
            \item Montrer $v_n-v_{n+1}\leq v_n-e\leq v_n-u_{n+3}$. En déduire $\alpha\in\mathbb N$ tel que \[
                n^\alpha n!(v_n-e)\longmapsto 1
                \]
            \item Étudier la suite $\big(\sin(\pi e n!)\big)_{n\geq 1}$
        \end{enumerate}
    \end{exo}
\end{multicols}

\week{Heumez}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Montrer le lemme de Cesàro
    \end{cours}
    \begin{exo}
        Trouver \[
            \lim_{n\to+\infty}(\ln n)^{\frac 1n}
        \]
    \end{exo}
    \begin{exo}
        Donner un équivalent en $+\infty$ de \[
            u_n=\sum_{k=1}^n k!
        \]
    \end{exo}
    \columnbreak

    \begin{exo}
        Montrer que $(\cos n)$ diverge
    \end{exo}
    \begin{exo}
        Soit $(u_n)\in\left(\mathbb N^*\right)^{\mathbb N}$ telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n}\longrightarrow \ell<1$. Donner la limite de $(u_n)$.
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage
\week{Drouot}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Caractérisation d'un sous-groupe
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Dans l'anneau $(A, +, .)$, on suppose que: $\forall (a, b)\in A^2, (a^2-a)b=b(a^2-a)$. Montrer, pour tout $(x, y, z)\in A^3$, que $(xy+yx)z=z(xy+yx)$. Montrer que $A$ est un anneau commutatif.
    \end{exo}

    \begin{exo}
        On définit $HK$ par $HK=\{h.k, h\in H, k\in K\}$. Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes d'un groupe $(G, .)$. Montrer que $HK$ est un sous-groupe de $G$ ssi $HK=KH$.
    \end{exo}
    \columnbreak

    \begin{exo}[Sous-groupes de $(\mathbb R, +)$]
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que les sous-groupes de $(\mathbb R, +)$ sont soit de la forme $a\mathbb Z$, pour $a\in\mathbb R$, soit dense dans $\mathbb R$. \textit{(Indication: on pourra considérer $a=\inf G\cap\mathbb R_+^\star$, puis distinguer les cas $a=0$ et $a>0$)}
            \item Application: Montrer que $\{a+b\sqrt 2, (a, b)\in \mathbb Z^2\}$ est dense dans $\mathbb R$
            \item Application: Soit $f$ une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Posons $G(f)=\{T\in \mathbb R/\forall x\in \mathbb R, f(x+T)=f(x)\}$. Montrer que $G(f)$ est un sous-groupe de $(\mathbb R, +)$. Montrer que si $G(f)$ est dense et que s'il existe un point $a\in \mathbb R$ tel que $f$ possède une limite à droite (ou à gauche) en $a$, alors $f$ est constante. Donner une fonction $f$ non constante telle que $G(f)$ soit dense dans $\mathbb R$
        \end{enumerate}
    \end{exo}
\end{multicols}

\week{Huvent}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Soit $(G, \cdot)$ un groupe abélien d'élément neutre $e$. Montrer que \[
            H=\{x\in G, \exists d\in \mathbb N^*, x^d=e\}
        \]
        est un sous-groupe de $G$.
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Donner un équivalent de $\dfrac{\ln \frac{2x}\pi}{\cos^2(x)}$ en $\dfrac\pi2$
    \end{exo}

    \columnbreak

    \begin{exo}
        Etudier les limites aux bords du domaine de définition de \[f(x)=(1+\ln x)^{\tan\frac{\pi x}2}\]
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Soit $f$ définie sur $\mathbb R$ et périodique de période $T>0$. Montrer que \[
            f \text{ \textit{a une limite en} } +\infty \iff f\text{ \textit{est constante sur} }\mathbb R
        \]
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage
\week{Boughagha}

\begin{multicols}{2}

    \begin{cours}
        $I$ intervalle et $f\in \mathcal C(I)\implies f(I)$ intervalle
    \end{cours}

    \begin{exo}
        $f:\mathbb [a, b]\to\mathbb [a, b]$ continue ($a>b$), telle que \[
            \forall (x,y)\in [a, b], x\neq y\implies |f(x)-f(y)|<|x-y|
        \]
        Montrer que $f$ admet un point fixe
    \end{exo}

    \columnbreak

    \begin{exo}
        $f:[a, b]\to \mathbb R$ continue, avec $f(1)=0$. Montrer \[
            \exists c\in ]a, b[, f'(c)=-\frac {f(c)}c
        \]
    \end{exo}

\end{multicols}

\week{Gammelin}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Montrer le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Soit $I$ un intervalle, et $a<b$ deux réels de $I$. On considère $f\in\mathcal C(I)$ dérivable en $a$ telle que $f(a)<f(b)$ et $f'(a)<0$.
        Montrer \[
            \exists c\in]a, b[, f(c)=f(a)
        \]
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Soit $f\in\mathcal C([a, +\infty[)$ et $f\in\mathcal C(]a, +\infty[)$, avec $f(a)=\lim_{x\to+\infty}\limits f(x)$. Montrer \[
            \exists c>a, f'(c)=0
        \]
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage
\week{Bailleul}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Théorème de classe $\mathcal C^n$ par prolongement
    \end{cours}

    \begin{exo}
        \begin{enumerate}
            \item On pose $g(x)=e^{2x}$ et $h(x)=\dfrac{1}{1+x}$. Calculer, pour tout entier naturel $k$, la dérivée d'ordre $k$ des fonctions $g$ et $h$ sur leurs ensembles de définitions respectifs.
            \item On pose $f(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+x}$. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, $f^{(n)}$.
        \end{enumerate}
    \end{exo}

    \columnbreak

    \begin{exo}
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que pour tout $n\geq 1$, $f$ est $n$ fois dérivables et pour tout $x\in\mathbb R$, \[
                    f^{(n)}(x)=(n-1)!\cos^n(f(x))\sin(nf(x)+n\pi/2)
                \]
            \item En déduire les solutions de $f^{(n)}(x)=0$ pour tout $n\geq 1$
        \end{enumerate}
    \end{exo}
\end{multicols}

\week{Brunnin}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        \[
            \mathrm{Vect }(x_1, \cdots, x_n)=\left\{\sum_{k=1}^n\alpha_kx_k,(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\in \mathbb K^n\right\}
        \]
    \end{cours}

    \begin{exo}
        On pose \[
            F=\{(a,b,a-b),(a,b)\in\mathbb R^2\}
        \]
        \[
            G=\{(h, 2h-k, -2h), (h,k)\in\mathbb R^2\}
        \]
        Montrer que $F$ et $G$ sont deux deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$. Déterminer $F\cap G$.
    \end{exo}

    \begin{exo}
        $E$ est un $\mathbb K$-ev, $(f, g, h)\in L(E)^3$ tels que $f\circ g=h$, $g\circ h=f$ et $h\circ f=g$. Montrer que $\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Ker}(g)=\mathrm{Ker}(h)$ et $\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(g)=\mathrm{Im}(h)$. Établir que $f^2=g^2=h^2$. Montrer $f=g\circ f\circ g$ puis $f=f^5$. En déduire $\mathrm{Ker}(f)\cap\mathrm{Im}(f)=\{0\}$.
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Donner les coefficients et le degré du polynome \[
            P_n=\prod_{k=0}^n\left(1+X^{2^k}\right)
        \]
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage
\week{Samain}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Formule de Taylor
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Trouver $(a, b, c)\in\mathbb C^3$ tels que \[
            \begin{cases}
                a+b+c=1\\
                abc=1\\
                (a, b, c)\in\mathbb U^3
            \end{cases}
        \]
    \end{exo}

    \columnbreak

    \begin{exo}
        Soit $n\geq 2$ fixé. Montrer \[
            \exists! P\in\mathbb R[X], P-P'=X^n
        \]
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Soit $P\in\mathbb R[X]$ de degré $n$ tel que $\forall k\in\llbracket 0, n\rrbracket, P(k)\in\mathbb Z$. Montrer $\forall m\in\mathbb Z, P(m)\in\mathbb Z$.
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage
\week{Heumez}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Donner un exemple de projecteur. Soit $p$ projecteur. Montrer que \begin{itemize}
            \item $E=\mathrm{Im}(p)\oplus\mathrm{Ker}(p)$
            \item $\mathrm{Im}(p)=\{x\in E\;|\; p(x)=x\}$
            \item $p$ est un projecteur sur $\mathrm{Im}(p)$ par rapport à $\mathrm{Ker}(p)$.
        \end{itemize}
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Soit $n\geq 2$ un entier. On rappelle qu'un projecteur de $\mathbb R^2$ est un endomorphisme $u\in L(\mathbb R^n)$ tel que $u^2=u$, où $u^2$ désigne la composée $u\circ u$. On note $\mathrm{Id}$ l'application identité entre $\mathbb R^n$ et $\mathbb R^n$.

        \begin{enumerate}
            \item Dans cette question, on étudie quelques propriétés générales des projecteurs. Soit $u\in L(\mathbb R^n)$ un projecteur. On lui associe l'endomorphisme $\hat u=\mathrm{Id}-u$.
                \begin{enumerate}
                    \item Montrer que $\hat u$ est un projecteur
                    \item Montrer que $\mathbb R^n=\mathrm{Ker}(u)\oplus\mathrm{Ker}(u-\mathrm{Id})$
                    \item Montrer que $\mathrm{Ker}(\hat u)=\mathrm{Im}(u)$ et $\mathrm{Im}(\hat u)=\mathrm{Ker}(u)$
                \end{enumerate}
            \item Soient $p$ et $q$ dans $L(\mathbb R^n)$ deux projecteurs. Le but de cette question est de démontrer que \begin{align*}
                    p-q\;\text{bijectif}&\iff Id-p\circ q\;\text{et}\;p+q-p\circ q \;\text{bijectifs}\\
                    &\iff \mathrm{Im}(p)\oplus\mathrm{Im}(q)=\mathbb R^n\;\text{et}\;\mathrm{Ker}(p)\oplus\mathrm{Ker}(q)=\mathbb R^n
            \end{align*}
                    \begin{enumerate}
                        \item On suppose que $\mathrm{Im}(p)\oplus\mathrm{Im}(q)=\mathbb R^n$ et $\mathrm{Ker}(p)\oplus\mathrm{Ker}(q)=\mathbb R^n$. Montrer que $p-q$ est bijectif\footnote{Pour cette question et le reste de l'exercice, on admet qu'en dimension finie, pour un endomorphisme, injectif entraine surjectif}
                        \item On suppose dans cette partie que $p-q$ est bijectif. 
                            \begin{enumerate}
                                \item Montrer que $\mathrm{Id}-p\circ q$ est bijectif. Indication: on pourra prendre $x\in\mathrm{Ker}(\mathrm{Id}-p\circ q)$ et calculer $(p-q)^2(x)$.
                                \item Posons $\hat p=\mathrm{Id}-p$ et $\hat q=\mathrm{Id}-q$. Justifier que $\hat p-\hat q$ est bijectif.
                                \item En déduire que $p+q-p\circ q$ est bijectif.
                            \end{enumerate}
                        \item On suppose dans cette partie que $\mathrm{Id-p\circ q}$ et $p+q-p\circ q$ sont bijectifs.

                            \begin{enumerate}
                                \item Justifier qu'il existe $z\in L(\mathbb R^n)$ tel que $\mathrm{Id}=z\circ p +z\circ (\mathrm{Id}-p)\circ q$.
                                \item En déduire que $\mathrm{Ker}(p)\cap\mathrm{Ker}(q)=\{0\}$
                                \item Montrer que $\mathrm{Im}(p)+\mathrm{Im}(q)=\mathbb R^n$
                                \item Montrer que $\mathrm{Im}(p)\oplus\mathrm{Im}(q)=\mathbb R^n$ et que $\mathrm{Ker}(p)\oplus\mathrm{Ker}(q)=\mathbb R^n$
                            \end{enumerate}
                    \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage

\week{Varjabedian}

\begin{multicols}{2}

    \begin{cours}
        Soient $(x_0, \dots, x_n)\in\mathbb R^{n+1}$ deux à deux distincts, et $(L_k)_{0\leq k\leq n}$ la famille de polynomes de Lagrange associée. Montrer que $(L_k)_{0\leq k\leq n}$ est une base de $R_n[X]$
    \end{cours}

    \begin{exo}[Exercice partiel: je n'ai pas eu le temps de le terminer]
        Soit $\Delta:P\in\mathbb R[X]\mapsto P(X+1)-P(X)$
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que $\Delta$ est linéaire. Donner $\mathrm{Ker}(\Delta)$ et $\mathrm{Im}(\Delta)$
            \item Montrer que si $Q\in\mathbb R[X]$, il existe un unique $P\in\mathbb R[X]$ tel que $\Delta(P)=Q, P(0)=0$. Simplifier $\displaystyle\sum_{k=0}^nQ(k)$
            \item On note $\displaystyle\binom Xk=\frac{X(X-1)\cdots (X-k+1)}{k!}$ et $\displaystyle\binom X0=1$ \begin{enumerate}
                    \item Montrer $\displaystyle\Delta\left(\binom Xk\right)=\binom X{k-1}$
                    \item \emph{(formule de Gregory)} Soit $P\in \mathbb R[X]$. Montrer $\displaystyle P=\sum_{k=0}^{+\infty}\Delta^k(P)(0)\binom Xk$
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{exo}
\end{multicols}

\week{Drouot}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Le rang est inchangé par composition à droit ou à gauche par un isomorphisme
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Résoudre le système \[
            \begin{cases}
                x+y+z=1\\
                y+z=1\\
                z=1
            \end{cases}
        \]{\color{purple} \textbf{À faire:} retrouver le système. L'ensemble solution est $(0, 0, 1)+\mathrm{Vect}((2, 1, -3))$}
    \end{exo}

    \columnbreak
    
    \begin{exo}
        Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension $n\geq 1$. $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ de même dimension $p<n$. Montrer que $F$ et $G$ admettent un supplémentaire commun dans $E$: \[
            F\oplus H=G\oplus H=E
        \]
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Soit $E$ un $\mathbb K$-ev, $F$ et $G$ deux sev de $E$. Montrer que $F\cup G$ est un sev de $E$ si et seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage
\week{Huvent}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        En utilisant les formules de changement de bases, expliquer comment trouver la matrice, dans la base canonique de $\mathbb R^3$, de la projection sur $P:x+y+z=0$ parallèlement à $x=\dfrac y2=\dfrac z3$
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Soit $\displaystyle A= \begin{pmatrix}\mathrm{ch} x && 0 && \mathrm{sh} x \\ 0 && 1 && 0 \\ \mathrm{sh} x && 0 && \mathrm{ch} x \end{pmatrix}$, où $x\in \mathbb R$. On note $f$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ dans la base canonique de $\mathbb R^3$. On pose $e_1=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$, $e_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$, $e_3=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. Montrer que $\mathcal B=(e_1, e_2, e_3)$ est une base de $\mathbb R^3$. Déterminer la matrice $B$ de $f$ dans la base $\mathcal B$. En déduire $A^n$.
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Pour $A\in \mathcal M_2(\mathbb R)$, on définit la matrice $\theta(A)=\mathrm{Tr}(A)I_2-A$. Montrer que $\theta\in\mathcal L(\mathcal M_2(\mathbb R))$. Montrer que $\theta$ est une symétrie. Préciser ses éléments géométriques.
    \end{exo}

    \begin{exo}
        $A\in \mathcal M_n(\mathbb K)$. On définit \[
            \varphi\begin{pmatrix}\mathcal M_n(\mathbb K)\longrightarrow \mathcal M_n(\mathbb K)\\ M\longmapsto \mathrm{Tr}(A)M+\mathrm{Tr(M)A}\end{pmatrix}\in \mathcal L(\mathcal M_n(\mathbb K))
        \]
        On suppose qu'il existe $\lambda$ tel que $\exists M\in \mathcal M_n(\mathbb K), \varphi(M)=\lambda M$. Donner les valeurs possibles de $\lambda$. Sont-elle atteintes ?
    \end{exo}
\end{multicols}

\week{Vallaeys\footnote{Colle de la PLS}}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        $\phi$ et $\psi$ formes linéaires non nulles de $E$, alors \[
            \Ker(\phi)=\Ker(\psi)\iff \exists \lambda\in K, \lambda\neq 0 \;\big/\; \phi= \lambda \psi
        \]
    \end{cours}

    \columnbreak

    \begin{exo}
        $A\in M_{3n}(\mathbb R)$, $A^3=0$, $\mathrm{rg}(A)=2n$. Montrer \[
            \mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(A^2))=\mathrm{rg}(A)-\mathrm{dim}(\mathrm{Ker}(A)\cap \mathrm{Im}(A))
        \]
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage
\week{Bailleul}

\begin{multicols}{2}
    \begin{exo}
        Donner un développement limité de $x\mapsto (1+x)^{1/x}$ à l'ordre $3$ et $0$.
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Donner \[
            \lim_{x\to 0}\frac1{x^2}-\frac1{\tan^2(x)}
        \]
    \end{exo}

    \columnbreak
    
    \begin{exo}
        Donner un $DL_{22}(0)$ de $\displaystyle \exp\left(\sum_{k=1}^{21}\frac{(-1)^{k-1}x^k}k\right)$
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Donner un DL à l'odre $8$ de \[
            \int_{x}^{2x}\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1+t^4}}
        \]
    \end{exo}
\end{multicols}

\week{Dormart}

\vfill
\begin{center}
Étant donné les exercices peu intéressants, il est inutile de s'intéresser à cette colle   
\end{center}
\vfill

\newpage
\week{Samain}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Nature de $\sum \ln(1-\frac1{k^2})$ et valeur de la somme si la série converge
    \end{cours}

    \begin{exo}
        On considère $E$ un ensemble fini de cardinal $n$. Combien existe-t-il de couples $(X,Y)\in \mathcal P(E)^2$ tels que $\# X\cap Y=1$?
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On les tire toutes successivement sans remise
        \begin{enumerate}
            \item Quelle est la probabilité de tirer les boules $2-3-4$ dans cet ordre et consécutivement?
            \item Quelle est la probabilité de tirer les boules $2-3-4$ dans cet ordre mais pas forcément consécutivement?
        \end{enumerate}
    \end{exo}

    \begin{exo}
        On considère $A$, $B$ événements de $(\Omega, P)$ espace probabilisé fini. Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si \[
            P(A\cap B)P(\overline A\cap \overline B)=P(\overline A\cap B)P(A\cap \overline B)
        \]
    \end{exo}
\end{multicols}

\week{Heumez}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}\emph{(Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)}
        \[
            \mathbb P(|X-E(X)|\geq \varepsilon)\leq \frac{V(X)}\varepsilon
        \]
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Simplifier la somme \[
            \sum_{k=p}^{n-1}\binom k p
        \]
    \end{exo}

    \begin{exo}
        On considère une urne contenant des boules numérotées de $1$ à $n$. On tire simultanément $p$ boules ($1\leq p<n$). On note $X$ la variable aléatoire qui correspond à la plus grande boule, et $Y$ la variable aléatoire qui correspond à la plus petite. \begin{enumerate}
            \item Donner la fonction de répartition\footnote{$F_X$ la fonction de répartition de $X$ est la fonction $F_X: x\longmapsto \mathbb P(X\leq x)$} de $X$ et $Y$. En déduire la loi de $X$ et celle de $Y$.
            \item En déduire $\mathbb E(X)$, $\mathbb E(Y)$, $V(X)$, $V(Y)$.
        \end{enumerate}
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage
\week{Drouot}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Donner $\displaystyle \begin{vmatrix}
            A & B \\ 0 & C
        \end{vmatrix}$ avec $(A, B, C)\in \mathcal M_n(\mathbb R)\times \mathcal M_{n,p}(\mathbb R)\times \mathcal M_p(\mathbb R)$
    \end{cours}
    
    \begin{exo}
        Calculer \[
            \begin{vmatrix}
                1+a & a & a \\ b & 1 + b & b \\ c & c & 1 + c
            \end{vmatrix}
        \]
    \end{exo}
    \begin{exo}
        On considère la matrice $A=(a_{i, j})_{i, j}\in M_n(\mathbb R)$. On note $A(x)$ la matrice de terme général $a_{i, j}+x$. \begin{enumerate}
            \item Montrer que $x\mapsto \det(A(x))$ est polynomiale de degré inférieur ou égalà $1$.
            \item Pour $a, b$ distincts et $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ réels, donner \[
                \begin{vmatrix}
                    \alpha_1 &a&\cdots & a \\
                    b & \alpha_2 & \ddots & \vdots\\
                    \vdots & \ddots & \ddots & a \\
                    b & \cdots & b & \alpha_n 
                \end{vmatrix}
                \]
        \end{enumerate}
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Donner la signature de la permutation \[
            \begin{pmatrix}
                0 & 1 & \cdots & n\\
                n & n-1 & \cdots & 1
            \end{pmatrix}
        \]
    \end{exo}

    \begin{exo}[Générateurs de $S_n$]
        Montrer que \begin{enumerate}
            \item $\{(i\quad j), (i, j)\in \llbracket 1, n\rrbracket^2\}$ engendre $S_n$
            \item $\{(i\quad i+1), i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket\}$ engendre $S_n$
            \item $\{(0\quad 1\quad 2\quad \cdots\quad n), (1\quad 2)\}$ engendre $S_n$
        \end{enumerate}
    \end{exo}
\end{multicols}

\week{Huvent}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Montrer que $\langle A | B\rangle$ définit un produit scalaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$
    \end{cours}

    \begin{exo}
        On considère $E=\mathcal M_2(\mathbb R)$ munit du produit scalaire $(A|B)=\mathrm{Tr}(AB^T)$. Donner la distance de $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ au sev des matrices triangulaires supérieures.
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Soit $E$ euclidien, $a\in E$ tel que $||a||=1$, on définit $\langle x|y\rangle=(x|y)+k(x|a)(y|a)$. Donner une CNS sur $k$ pour que $\langle\;|\;\rangle$ soit un produit scalaire sur $E$.
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage
\week{Boughagha}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Donner l'orthogonal du sev des matrices diagonales dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$
    \end{cours}

    \begin{exo}
        $E$ espace euclidien, $A$ vecteur non nul de $E$. Résoudre pour $\lambda\in \mathbb R$ fixé, \[
            \langle A, X\rangle = \lambda
        \]
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Montrer que $F$ est $G$ sont supplémentaires dans $E=\mathcal C^1(\mathbb R)$, avec \[
            F=\{f\in E \;|\; f(0)=f'(0)=0\}
        \]
        et \[
            G=\{f\in E | f(x)=ax+b\}
        \]
    \end{exo}

    \begin{exo}
        On considère $f$ forme linéaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$ telle que $\forall (A, B)\in \mathcal M_n(\mathbb R)^2, f(AB)=f(BA)$. Montrer que $f\in \mathrm{Vect}(\mathrm{Tr})$
    \end{exo}

    \begin{exo}
        On considère $A\in \mathbb R_n[X], \deg A=p$ fixé et $F$ le sev des polynômes de $\mathbb R_n[X]$ divisibles par $A$. Donner un supplémentaire de $F$. En déduire la dimension de $F$.
    \end{exo}
\end{multicols}

\week{Gammelin}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Montrer que $x\longmapsto \sqrt x$ est uniformément continue.
    \end{cours}

    \begin{exo}
        On pose $f(x)=\int_{x}^{\frac 1x}\frac{\arctan t}t \;\mathrm dt$. Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb R^\star$. Étudier la parité de $f$, et montrer qu'elle est dérivable sur $]0;+\infty[$. Calculer $f'(x)$ et en déduire une expression sur $\mathbb R^\star$
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Calculer \[
            \lim_{n\to+\infty} \ln\left(\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \left(1+\frac kn\right)}\right)
        \]
    \end{exo}
    \begin{exo}
        Soit $n\geq2$. On pose $u_n=\sum_{k=2}^n\frac 1{k\ln k}$ et $I_n=\int_{2}^{n+1}\frac{\mathrm dt}{t\ln t}$. Comparer $u_n$ et $I_n$, et en déduire $\lim_{n\to+\infty} \limits u_n$
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Étudier la fonction $H: x\longmapsto \int_0^{\sin^2 x}\arcsin(\sqrt t)\;\mathrm dt+\int_0^{\cos^2 x}\arccos(\sqrt t)\;\mathrm dt$. (définition, parité, périodicité, $H'$, ...)
    \end{exo}
\end{multicols}

\newpage
\week{Bailleul}

\begin{multicols}{2}
    \begin{cours}
        Somme de deux variables indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1, 2, \cdot, n\}$
    \end{cours}

    \begin{exo}
        Soit $n\in\mathbb N^\star$. On place dans une urne $U$, pour tout entier $k\in\llbracket 0, n\rrbracket$, $2^k$ boules numérotées $k$. On tire alors une boule de l'urne au hasard en considérant que chaque boule a la même chance d'être tirée, et on note $X$ la variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue.

        \begin{enumerate}
            \item Déterminer la loi de $X$.
            \item Calculer $\sum_{k=1}^n k2^k$
            \item Déterminer l'espérance de $X$.
            \item On définit une variable $Y$ de la manière suivante: Si $X$ prend la valeur $k\in\llbracket 0, n\rrbracket$, on remet la boule $k$ dans l'urne et on effectue un nouveau tirage dans l'urne. Si le numéro de la boule est inférieur ou égal à $k$, $Y$ vaut $1$ et dans l'autre cas, $Y$ vaut $0$. Déterminer la loi de $Y$, son espérance et sa variance.
        \end{enumerate}
    \end{exo}

    \begin{exo}
        Soient $X$ et $Y$ deux variable aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p\in ]0; 1[$. Déterminer la loi de $Z=\max(X, Y)$
    \end{exo}

    \begin{exo}[Supplémentaire, facile]
        On considère deux avions $A_2$ et $A_4$ qui ont respectivement $2$ et $4$ réacteurs. On dit qu'un voyage est réussi si au moins la moitié de réacteurs fonctionnent à l'attérissage. Pour chaque réacteur, il y a une probabilité $0<p<1$ de tomber en panne au cours d'un voyage. Quel avion faut-il prendre?
    \end{exo}
\end{multicols}

\end{document}
