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\AtBeginDocument{\def\labelitemi{$\bullet$}}

\newtheorem*{thm}{Théorème}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{notation}{Notation}

\title{Les Polynômes}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle
% \tableofcontents

\section{Rappels}

$\mathbb K$ désigne un corps (donc commutatif). Un polynôme de $\mathbb K[X]$ s'écrit $P$ ou $P(X)$, l'évaluation en $a\in\mathbb K$ de $P$ se note $P(a)$. L'application \[
    P\in\mathbb K[X] \longmapsto P(a)\in\mathbb K
\]
est un morphisme d'algèbres qui est injectif si $\mathbb K$ est injectif. Pour $P\in\mathbb K[X]\setminus \{0\}$, $a\in\mathbb K$ est une racine de $P$ ssi \[
    P(a)=0\iff (X-a)\;|\;P
\]
et $a$ est racine de multiplicité $\alpha \geq 1$ ssi \[
    \begin{cases}
        P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(\alpha - 1)}(a)=0 \\
        P^{(\alpha)}(a)\neq 0
    \end{cases}
    \iff \begin{cases}
        (X-a)^\alpha \; |\; P\\
        (X-a)^{\alpha+1}\;\not|\;P
    \end{cases}
\]
Si $a$ n'est pas racine de $P$, on convient que $a$ est racine de multiplicité $0$.

\begin{notation} ~
    \begin{itemize}
        \item 
    On note $Z_\mathbb K(P)$ l'ensemble des racines de $P$ dans $\mathbb K$
\item On note $\mathrm{mult}(P, a)$ la multiplicité de la racine $a$ dans $P$
    \end{itemize}
\end{notation}

\begin{thm}
    Soit $P\in \mathbb K[X]\setminus \{0\}$. Le polynôme $P$ a au plus $\deg P$ racines dans $\mathbb K$.
    En particulier, le polynôme nul est le seul polynôme qui a une infinité de racines.
\end{thm}

\end{document}
