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\title{Problème 8}
\author{Théophile Cailliau}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\begin{theo}
    Trouver le pgcd des nombres de la forme
$(a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d)$ où $a, b, c$ et $d$ sont des entiers
\end{theo}

\begin{proof}
    % Soit $D$ le pgcd recherché. Alors, on a $D\in\{4,8,12\}$ car pour $(a,b,c,d)=(1,4,2,3)$ on obtient $12$, et il y a toujours un facteur $4$. En effet, par le principe des tiroirs, trois des quatre variables ont la même parité, et il y a donc deux facteurs qui sont pairs. Par le principe des tiroirs, deux des quatre variables ont le même résidu modulo $3$, donc leur différence est divisible par $3$. Le nombre $(a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d)$ contient toutes les différences possibles (au signe près) de quatre variables distinctes et est donc divisible par $3$. On a donc $D=12$.
    On note $f(a, b, c, d)$ le nombre $(a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d)$ et $D$ le pgcd de tous les $f(a,b,c,d)$ pour $(a,b,c,d)\in\mathbb Z^4$.

    On a $f(1,4,2,3)=12$ donc $D\leqslant 12$. 
    
    Il existe au moins deux couples de variables de même parité parmis $a,b,c$ et $d$. En effet, si deux sont de même parité et les deux autres de la parité opposée (par exemple $a,b$ pairs et $c,d$ impairs), alors on a bien deux couples de variables qui ont la même parités. Si trois nombres ou plus ont la même parité, alors on peut créer au moins deux couples de même parité (les couples peuvent partager une variable). 

    Pour tout couple de deux variables de même parité, on introduit un facteur $2$ dans $f(a,b,c,d)$ puisque leur différence est paire. Ainsi, on a $4\;\big|\;f(a,b,c,d)$ et donc $D\in\{4,8,12\}$.

    Enfin, par le principe des tiroirs, deux des quatre variables ont le même résidu modulo $3$ donc leur différence, qui est présente dans $|f(a,b,c,d)|$ est divisible par $3$. Par conséquent, on a $D=12$.
\end{proof}
\end{document}
